聰明的螞蟻走“捷徑”

一、 例題呈現

華東師范大學版八年級上冊《數學》教材57頁的一道例題中描述了一只聰明的螞蟻，相信這只聰明的螞蟻一定給大家留下了深刻的印象.

【例】 如圖14.2.1，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

圖14.2.1 圖14.2.2

分析:螞蟻實際上是在圓柱的半個側面內爬行，如果將這半個側面展開（如圖14.2.2），得到矩形 ABCD，根據“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側面展開圖矩形對角線AC之長．（精確到0.01cm）

解：如圖14.2.2，在Rt△ABC中，BC的長等于底面周長的一半，即10cm，

∴ AC＝AB2+BC2＝42+102≈10.77（cm）．

答： 最短路程約為10.77cm．

二、 深挖思考

不知大家是否注意到，題目中“沿著圓柱的側面爬行到點C”這個條件是否可有可無呢？下面我們來研究這個問題.如果題中少了“沿著圓柱的側面爬行到點C”的條件，螞蟻還可以如圖14.2.1沿著圓柱的棱從A→B→C，此時的距離為：4+20π≈10.37＜10.77，顯然沿著A→B→C的距離更短，而并不是沿側面爬到點C的距離最短.

那么什么時候沿側面爬更近，什么時候沿A→B→C爬行更近呢？是否存在一般性的結論呢？

一般地，設圓柱體的底面直徑為d，高為h.

①沿A→B→C爬行的距離為L1，則L1=h+d；

②沿側面爬時最短距離為L2= AC＝h2+(πd2)2.

由此可見，螞蟻按照哪種方式爬行距離最近是由這個圓柱的身材（高與底面直徑的比）決定的.

（1）當這個圓柱的身材是“細長苗條”型（h/d>0.7337）時，沿側面爬到C點距離最短，最短距離是L2= AC＝h2+(πd2)2.

（2）當這個圓柱的身材是“標準”型（h/d≈0.7337）時，沿側面爬到C點和沿著A→B→C距離都是最短，最短距離是L1=h+d=L2＝h2+(πd2)2.

（3）當這個圓柱的身材是“臃腫矮胖”型（0

三、變式探究

進一步研究螞蟻在其他立體圖形上的捷徑問題.

變式1：如圖1所示，一正方體的邊長是4cm，一只饑餓的螞蟻在A點，它要盡快吃到處在B點的食物，這只螞蟻沿著這個正方體的表面爬行的最短距離是多少？

解：任意展開相鄰的兩個側面得到圖2，此時易求得AB= 42+82=45 .

圖1 圖2

變式2：若將上面的正方體改為長、寬、高分別是8cm、6cm、5cm的一個長方體（如圖3所示），螞蟻怎樣爬行距離最短呢？

解：從不同的面到達B點，本題情況有三：

（1）沿前、上面爬行時的最短距離AB=(6+5)2+82=185≈13.6；

（2）沿左、上面爬行時的最短距離AB=(8+5)2+62=205≈14.32；

（3）沿前、 右面爬行的最短距離AB=(6+8)2+52=221≈14.87.

所以，螞蟻應沿前、上面爬行，此時最短距離約是13.6.

變式3：若變式1中的長方形的長、寬、高分別是a、b、c，那么最短距離又是多少呢?

（1）沿前、上面爬行時的最短距離AB=L1=(b+c)2+a2；

（2）沿左、上面爬行時的最短距離AB=L2=(a+c)2+b2；

（3）沿前、右面爬行時的最短距離AB=L3=(a+b)2+c2.

則L21=a2+b2+c2+2bc，L22=a2+b2+c2+2ac，L23=a2+b2+c2+2ab.

∴L22-L21=2ac-2bc=2c(a-b).

若a>b，那么L1＜L2；若a=b，那么L1=L2；若a

同理，L23-L22=2ab-2ac=2a(b-c).

若b>c，那么L1＜L3；若b=c，那么L2=L3；若b

所以，

(1) 當a=b=c時（即它為正方體），沿任何相鄰的兩個面爬行距離都可以最短，

即L1= L2= L3；

(2) 當a>b>c時，L1最小；

(3) 當a

綜上所述，應將a、b、c中較小的兩條棱展開成直角三角形的一條直角邊，而使最長的棱成為該直角三角形的另一條直角邊，這樣，所構成的直角三角形的斜邊就是最短的路徑.

變式4：如圖4，已知圓錐的底面半徑r=10cm，母線長為30cm.若一只螞蟻從A點出發沿著圓錐側面爬行一周，所走的最短路程是多少？

圖4 圖5

解：把圓錐的側面沿著母線SA展開，如圖5所示，則螞蟻從A點出發沿圓錐側面爬行一周所走的最短路程就是線段AA′的長.

因為AA′=2πr=20π，SA=30，

所以nπ#8226;30180=20π，所以n=120，即∠ASA′=120°.

在等腰三角形ASA′中，過點S作SB⊥AA′于點B，

則∠ASB=60°.

在Rt△ABS中，由勾股定理或三角形函數的知識均可求出AB=153，故AA′=2AB=303.

因此，螞蟻爬行的最短路程為AA′=303.

參考文獻

王偉. 數學變式百例精講［M］.寧波：寧波出版社，2006.

(責任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文