一題多證 開發智力 培養能力

選擇適當的習題及其解法，是數學復習中重要的一環.習題解法得當，則事半功倍，否則收效甚微，且會挫傷學生的積極性.這里介紹一道傳統平面幾何題的六種證法，這些證法對鞏固初中數學基礎知識，培養學生綜合分析、探究、解決問題的能力，提高學生學習數學的興趣，都有重要的作用.現敘述如下：

例題：如圖1，三個邊長為1的正方形順次相接.

求證:α＋β=45°.

證法一：如圖1，連結OB、BG交OD于H， 易知∠OBG=90°，又BHBG=BHOB=12，而OAAC=12，則BHOB=OAAC=12，∴△OBH∽△CAO，∴∠1＋∠2=α.又∠3=β，故α＋β=(∠1＋∠2)＋∠3=45°.

目的：1.鞏固“遇到四邊形連對角線”的證題方法；

2.鞏固相似三角形的判定及性質.

證法二：連結OB，繞B點把△AOB旋轉到△KGB，則BG交OD于H，以下同證法一.

【目的】鞏固“圖形有等邊，繞點來旋轉”的證題方法.

證法三：如圖1，繞BK把△AOB翻轉到△CGB的位置，BG交OD于H，BG和OD互相平分，以下同證法一.

【目的】鞏固“垂線分角線，繞軸來翻轉”的證題方法.

證法四：如圖2，

圖2

連結OB，α+β=(∠3+∠2)+∠3，

但（∠1+∠2）+∠3=45°，故只要證得

∠1=∠3即可.

作BE⊥OC于E，則BE=1-EC2=1-cos2α=1-(25)2=55，OE=OB2-BE2==2-15=355 ，

∴tan∠1=13，而tan∠3=13，

∴∠1=∠3，則α+β=45°.

【目的】掌握“幾何問題三角化”的思想方法.

證法五：如圖2，過B作BF∥CO交AO于F.證β=∠4即可.

∵BF∥OC，∴∠1=∠4.又∠1=∠3. ∴∠4=∠3=β.又∠5=α， ∴α+β=∠5+∠4=45°.

【目的】鞏固兩直線平行的性質和判定定理.

證法六：如圖2，過B作BF∥CO交AO于F.證β=∠4即可.

∵cos∠4=FB2+OB2-FO22FB#8226;OB=(52)2+(2)2-(12)2

2×52×2=31010

，

cosβ=AD2+OD2-OA22AD#8226;OD=32+10-12×3×10=31010.

又∠4，β均為銳角，故β=∠4，∴α+β=∠5+∠4=45°.

【目的】1.培養學生掌握“遇到角的和差，將大截小或將小擴大”的論題方法；

2.鞏固“用余弦定理論角相等”的思想方法.

通過一題多證，培養學生從不同的角度去聯想，橫向溝通，多方探求，鞏固了新舊知識，又發展了學生求異發散思維和應運知識的能力.

(責任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文