巧用曲線系方程解題示例

在中學解析幾何教材中，經常出現(xiàn)“求過兩條曲線交點和另一個條件的曲線方程，或證明兩曲線交點同在某一條曲線上”這類題型.如果按常規(guī)方法：解題則是先求交點再求方程，往往較繁，也較難.此時若能巧用曲線系方程來求解，將會使解題方法簡單化.本文將針對這類題型進行分類總結，運用曲線系方程來解決該問題.

首先，過曲線F1(x ， y)=0與F2(x ， y)=0交點的曲線系方程為：F1(x ， y)+λF2(x ， y)=0，即曲線系F1(x ， y) +λF2(x ， y)=0 中的每一條都經過兩已知曲線的交點.

其次，按以下分類來進行說明.

一、求過已知兩曲線交點的曲線方程

一般先寫出過兩已知曲線交點的曲線系方程，再根據(jù)另一已知條件確定λ值，最后將λ值代入曲線系方程，即得所求方程.

1.所求方程為直線方程

【例1】 過兩直線2x-3y=1，3x+2y=2的交點，且平行于直線y+3x=0的直線方程.

解：過兩已知直線交點的直線系方程為：

（2x-3y-1）+λ（3x+2y-2）=0，

即(2+3λ)x+（2λ-3）y-(2λ+1)=0，

它與直線y+3x=0平行的充要條件是：

2+3λ3=2λ-31，

-(2λ+1)≠0，

從而解得λ=113，將λ值代回曲線系方程，得所求直線方程為39x+13y-25=0.

評析：本題巧用曲線系求解，避免了解方程組求交點，然后進一步求直線方程的復雜過程.

2.所求曲線為二次曲線

【例2】 求過兩圓C1：x2+y2+6x-4=0，C2:x2+y2+6y-28=0的交點，圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.

解：設過兩圓C1、C2交點的曲線系方程為：

(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ為待定常數(shù)項)，

即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0，

即(x+31+λ)2+(y+3λ1+λ)2=37λ2+32λ+13(1+λ)2.

由此，圓系的圓心為(-31+λ，-31+λ).

又圓心在直線x-y-4=0上，則有

-31+λ+31+λ-4=0，

求得y=-7.

于是所求的圓方程為：x2+y2-x+7y-32=0.

【例3】 二次曲線x2-2y2=4與兩直線x+y-1=0、2x+y+1=0相交，求過它們的交點和點（-1，0）的二次曲線方程.

分析：本題如果先求二次曲線與兩直線交點坐標，再將交點坐標和（-1，0）代入二次曲線的一般方程，求解難度將會很大，但運用曲線系解這道題卻相當簡單.

解：依題意，兩直線與已知二次曲線有四個交點，過這四個交點的曲線系方程為：

（x+y-1）（2x+y+1）+λ（x2-2y2-4）= 0.

因為所求曲線過點（-1 ，0），代入方程得：λ=23.

∴所求曲線方程為 （x+y-1）（2x+y+1）+23（x2-2y2-4）= 0，即

8 x2 +9xy - y2 -3x -11 = 0.

【例4】求經過圓x2+y2 +2 x -4y +1 = 0與直線 2x +y +4 = 0的交點且面積最小的圓的方程.

分析：由過交點的圓系方程化為圓的一般式方程：

x2+y2 +Dx +Ey +F = 0，由此得圓的半徑R=12D2+E2-4F

，從 R的最小值得出λ的值，從而得解.

解：過直線和圓交點的圓系方程：（x2+y2 +2 x -4y +1）+λ（2x +y +4）= 0，即

x2+y2+（2λ+2）x + （λ- 4）y +（4λ+ 1）=0，此圓系的半徑R=125(λ-1.6)2+3.2.

當λ= 1.6時，R 有最小值0.8，從而圓有最小面積，此時圓的方程為：

5 x2+5y2 + 26x -12y +37 = 0.

二、證明兩曲線交點共線

證明這類問題，一般先寫出曲線系方程，再根據(jù)題意，將曲線系方程化為所證曲線類的標準式或一般式方程，最后確定λ的值，將λ值代入曲線系方程，從而得證.

【例1】 證明：無論m取何值，曲線 m x2+my2 +2x -2y-（m+1）= 0 總過定點.

分析：將曲線方程化為曲線系方程，求出曲線系經過的兩曲線F1（x ， y）= 0、F2 （x ， y ）= 0 的交點即可.

證明 ：原曲線方程可化為：（2 x -2y-1）+ m（ x2+y2 -1）= 0，由此可知，曲線系總過直線2 x -2y-1 = 0和圓：x2+y2 -1 = 0 的交點，由此得方程組：

x2+y2 -1= 0，

2 x -2y-1 = 0，解之得兩個交點坐標（1+74，1-74），

（1-74，1+74），

因此原命題成立.

【例2】 已知橢圓x25+y220=1與雙曲線x212-y23=1，求證：兩曲線交點共圓.

分析：寫出兩曲線交點的曲線系方程，只要能找到使曲線系方程為圓方程的值，即可得證.

證明：已知橢圓雙曲線的方程可化為：4x2+y2 -20= 0 和x2-4y2 -12= 0 ，過它們交點的曲線系方程為：（4x2+y2 -20）+ λ（x2-4y2 -12）=0，整理得（4+λ）x2+（1-4λ）y2 = 20 +12λ，令4+λ=1-4λ，得λ=-35 ，此時，20+12λ≥0.由此知，當λ=-35時，曲線系方程為圓方程x2+y2 =6417，從而得兩曲線交點共圓.這個圓的圓心為(0，0)，半徑為81717.

【例3】 證明：過已知兩圓：x2+y2 =4、x2+y2 -10x+16=0 的交點及P（4，2）的圓有無限個.

證明：過已知兩圓交點的曲線系方程為：λ1(x2+y2-4)+λ2(x2+y2-10x+16)=0

(λ21+λ22≠0)

，將P（4，2）代入上式得 4λ1-λ2=0，由此知P點與兩圓交點同在一曲線上.當λ1≠-λ2時，曲線系方程變?yōu)椋害霜?(x2+y2-4)+4λ1(x2+y2-10x+16)=0

，即5 x2+5y2 -10x+12=0，這是一個圓的方程.所以，除了已知兩圓外，對任意λ1≠-λ2，曲線系都表示圓.即命題成立.

參考文獻

羅增儒主編.高中數(shù)學競賽解題指導［M］.西安：陜西大學出版社，1999.

(責任編輯 金 鈴）

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