讓數學“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”

數學的特點之一是高度的抽象性.皮亞杰也認為：人的認知發展是一個認知圖式不斷重建的過程.因此，要想發展學生的抽象思維，培養學生的抽象能力，數學教學就必須遵循人的“從具體到抽象”的認識論的基本規律.教學中若能“將抽象的思維化為生動的直觀”，則可使數學“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”！

一、“將抽象的思維化為生動的直觀”，有利于學生對知識的理解和運用，可使課堂不僅成為知識的殿堂，更是人性養育的圣殿

在某些課堂上，經常看到教師以圖畫表象或語言表象提出問題，讓學生稍作思考后，就很快提出概念的語言表述并給出抽象符號.由于沒有給學生以充分的直觀、生動的背景材料，導致學生頭腦中已有的認知結構與新知識之間不能進行充分的相互作用.

【例1】 在《直線斜率和傾斜角》的教學中，已知斜率的范圍求傾斜角的范圍或已知傾斜角的范圍求斜率的范圍問題，學生極易出錯，以致有些學生對這類問題喪失信心.在此可讓學生畫出函數y=tanx，x∈［0，π2)∪(π2，π］

的圖象(如圖1)，并提出“斜率精神”：在［0，π2)內，斜率是傾斜角的增函數，在［0，π2)內“平步青云”，但過了π2，

就掉進了“萬丈深淵”，但它仍不屈不撓堅持爬了起來，

直到恢復常態.你們在學習中不也常會由順利到挫折嗎？如何調整心態，那就學學“斜率精神”吧！學生聽后露出了會心的微笑.這種看似平淡、枯燥的教學內容，通過直觀的圖象、生動的描繪，使課堂富有生命，知識富有情感，學生理解起來便會輕而易舉，記憶起來便會銘刻在心.

二、“將抽象的思維化為生動的直觀”，可創設以學生為本的課堂環境，可使課堂不僅是學生生命成長的地方，更是心靈對話的舞臺

“生動的直觀”可帶給學生感官上的多種刺激，容易引起大腦的興奮.在引導學生對具體對象的觀察、比較時，由于教師給出了標準、范圍和參照物，為學生發現規律鋪墊了必要的臺階，從而使學生從中體驗到“發現”和“成功”的快樂.

【例2】 ①已知圓周上有n個點，兩兩連接，除圓周上以外再無三線共點，每兩個點連成線段，那么這些線段相交的交點個數是多少？

②已知直線L1、L2，在L1上取m個點，在L2上取n個點，每兩個點連成線段，那么這些線段在L1和L2之間的交點（不包括L1、L2上的點）最多有多少個？

③已知兩個不重合的平面M、N，在M內取n個點，在N內取n個點，那么由這些點最多可確定多少對異面直線？

這一組排列組合問題有一定難度，解答時多數學生不重即漏，甚至束手無策.此時，如果能引入映射模型，畫出直觀圖形，學生大都能得到：平面上無三點共線的4個點構成四邊形對角線總有一個交點（如圖2）；空間不共面的4個點構成三棱錐三對對棱對應三對異面直線（圖示3）：

頓時讓人覺得一目了然，豁然開朗 ！

① 中的n個點可構成C2n個四邊形，所以交點個數為C2n；

②中的（m+n）個點可構成C2m#8226;C2n個四邊形，所以交點個數為C2m#8226;C2n；

③中的（m+n）個點可確定（C1m#8226;C3n+C2m#8226;C2n+C3m#8226;C1n

）個三棱錐，所以異面直線最多有3（C1m#8226;C3n+C2m#8226;C2n+C3m#8226;C1n）對.

三、“將抽象的思維化為生動的直觀”，有利于學生主體作用的發揮，可使課堂不僅是思維碰撞的場所，更是思想交融的空間

【例3】 在解決含參數的一元二次不等式的求解、一元二次方程實根分布、一元二次函數的最值等問題時，一般思路是什么？

遇到此類問題，首先讓學生充分利用數形結合的思想，畫出與之相應的一元二次函數圖象，再將抽象的符號語言與直觀圖形結合起來，最終實現抽象思維與形象思維的結合.在這個過程中，學生“腦中想圖形，心中裝圖形，手中畫圖形”，在解決問題的同時感受到了成功的喜悅，極大地激發了學習數學的興趣.

四、“將抽象的思維化為生動的直觀”，有利于對學生進行創造性思維訓練和個性品質的優化，可使課堂不僅是點燃智慧的“火把”，是師生共同探索世界的“窗口”

不少數學規律的發現，以至數學演繹體系的建立，都離不開歸納、類比這兩種思維形式，它們是創造性思維的具體體現.

1.通過歸納，訓練新思維

人教版高中數學B版教材中等差數列和等比數列的通項公式、排列數公式、二項式定理、組合數的性質等，都是按照從特殊到一般的認識規律，用不完全歸納法得到的.

【例4】 從下列數列中找出它一個可能通項.

①2，6，12，20，30，42，…；

②3，5， 9，17，33，65，….

可以用圖形，也可以用數字特征分析、歸納出結論：

①如圖4，可排成矩形數列，所以通項為n(n+1).

②用數字分解：

3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，通項為2n+1.

2.通過類比，學習新知識

人教版高中數學B版教材中指數函數和對數函數；正弦函數和余弦函數；等差數列和等比數列；橢圓和雙曲線；平面幾何與立體幾何等，它們在諸多項目上都是對應相似的.

【例5】 平面的三角形與空間的四面體的類比.

對于三角形有：

（1） 三條中線相交于一點，且該點分每條中線為2∶1；

（2） 勾股定理：c2=a2+b2；

（3）余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC；

…

對于四面體有：

（1）四條中線相交于一點，且該點分每條中線為3∶1；

（2）勾股定理：S2=S21+S22+S23；

(3)余弦定理：

S2ω＝S2α+S2β+S2γ-2SαSβ#8226;cos〈α，β〉-

2SβSγ#8226;cos〈β，γ〉-

2SγSα#8226;cos〈γ，α〉.

（這里Sω，Sα，Sβ，Sγ分別為四面體的各個面的面積）

…

綜上所述，“將抽象的思維化為生動的直觀”的教學，需要教師精心去設計，嚴格去遵循！只有讓學生的思維產生碰撞，讓學生的情感受到熏陶，讓學生的個性充分張揚，才能讓數學“冰冷的美麗”綻放“生命的火花”！

(責任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文