由獨立條件探究幾何體

幾何體可以分成四類：柱體、錐體、臺體及其他幾何體(如球、正八面體等).對于這些幾何體我們如何來確定它們呢?

我們知道，三角形的三條邊、三個角都稱為三角形的元素，三個獨立的元素可以確定一個三角形.如已知三邊，或兩邊一角，或兩角一邊，都能確定一個三角形.但是三個角就不能確定三角形，原因是三個角并不獨立，已知兩個角，第三個角就完全確定了，因此，三個角只能算兩個獨立條件.如果給定了邊角以外的條件，如三角形的面積，一邊上中線的長度，是否也能確定一個三角形呢?答案是肯定的，只要給定三個獨立的條件，就能確定一個三角形(但有時可能不是唯一解，如給定兩邊一角).

那么同樣，對于幾何體，我們也可以研究通過幾個獨立條件能夠確定它.以圓錐為例，若給定了底面半徑及高，圓錐就完全確定了，可見兩個獨立的條件就可以確定一個圓錐.與圓錐有關的條件很多，例如底面半徑R，高h，母線長l，母線與底面所成角α，軸截面頂角θ，側面展開圖中扇形圓心角φ，扇形半徑r，弧長c，側面積S，體積V等等.是否已知其中任意兩個就能確定一個圓錐呢?答案是否定的.如給定圓錐軸截面頂角θ及母線與底面所成角α，并不能確定圓錐，因為這兩個條件不獨立，由θ能求出α(α=90°-θ2). 再作進一步研究，如果給定了圓錐的一個條件，那么這樣的圓錐又能不能確定？例如，底面半徑r為定值的圓錐是底面大小固定、高卻可以變化的圓錐族，母線與底角所成角α為定值的圓錐則是形狀確定、大小可以變化的相似圓錐族.

下面我們來分別確定下列幾何體的獨立條件的個數：圓臺，平行六面體，三棱錐.

對于圓臺，確定了上、下底面半徑及高，就完全可以確定一個圓臺，因此確定圓臺的獨立條件是3個.

平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，確定底面需要三個條件(兩鄰邊長及夾角，或一邊、一角及一邊上的高等)，確定側棱的方向需要兩個條件，再加上側棱長度，因此確定平行六面體需要6個條件.

確定三棱錐的底面三角形需要三個條件，確定頂點位置又需要三個條件(確定空間一點的位置總需要三個獨立條件)，因此確定一個三棱錐也需要6個獨立條件.

下面再來看一個例題.

【例】 正三棱臺上底面邊長為a，下底面邊心距為r，兩個側面所成二面角的大小為β，此棱臺是否完全確定，若能，請求出它的高.

解：三個獨立條件可以確定一個正三棱臺，當β確定后，生成正三棱臺的三棱錐的形狀就確定了，即側棱與底面所成角等都確定了，由a確定了上底面的大小，由r確定了下底面的大小，因此a，r，β能確定一個正三

棱臺.

如右圖，OO1是棱臺上下底面中心的連線，作BE⊥CC1于

E，連接AE、DE，由對稱性可得AE⊥CC1，DE⊥AB，∠AEB=β，∠BED=β2，

由上底面邊長a，可得C1O1=33a，由下底面邊心距

r，即OD=r，可得

OC=2r，AB=23r，BD=3r.

∵BE⊥CC1，AE⊥CC1，

∴

平面ABE⊥CC1，DE⊥CC1.

作C1F⊥OC于F，C1F=OO1，C1F的長就是棱臺的

高.

在Rt△EDB中，DE=BD#8226;cot∠BED=3r#8226;cotβ2，

在Rt△DEC中，DC=3OD=3r，CE=CD2-DE2=r9-3cot2β2.

在Rt△C1FC中，CF=CO-C1O1=2r-33a.

∵△DEC∽△C1FC，∴C1F=DEEC#8226;FC=(6r-3a)cotβ233-cot2β2.

∴棱臺的高等于

(6r-3a)cotβ233-cot2β2.

說明：在正三棱臺中，有三個直角梯形(如圖中的直角梯形D1O1OD，O1OCC1，D1DBB1)，將棱臺中各元素聯系

(責任編輯 金 鈴）

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