關于y=a^x和其反函數y=log_ax(a＞0且a≠1)圖象交點問題的討論

一、問題的提出

教師：請在同一坐標系上作出0＜a＜1時函數y=ax與y=logax的圖象（草圖），并判斷方程組

y=ax，y=logax

（0＜a＜1）有幾個解？

同學們作出了圖， 異口同聲回答：方程組有且只有1個解．

真的只有一個解嗎？下面對此進行探討：

數學問題：已知m=(kk+1)k，n=(kk+1)k+1(k∈N+)

．

（1）求證：mm=nn；

（2）若點P(m，n)在指數函數y=ax(a＞0，a≠1)的圖象上，則對同一個a，點P也在對數函數y=logax的圖象上．

解： （1）由已知有

mm

=［(kk+1)k］(kk+1)k

=(kk+1)k#8226;kk(k+1)k

=(kk+1)kk+1(k+1)k，

nn=［(kk+1)k+1］(kk+1)k+1

=(kk+1)(k+1)#8226;kk+1(k+1)k+1

=(kk+1)kk+1(k+1)k=

mm.

（2）由mm=nn，有m1n=n1m． 又由點P(m，n)在指數函數y=ax的圖象上，有 n=ama=n1m=m1nm=an，即

n=logam．

這表明，對同一個a，點P在對數函數y=logax上．顯然m≠n，因而點P(m，n)是方程組y=ax，y=logax

（0＜a＜1）的1個解，但不在y=x上．由對稱性知Q(n，m) 也是方程組y=ax，y=logax（0＜a＜1）的1個解（可以證明這時方程組恰有3個解）．比如a=116時（相當于方程log116x=(116)x)

，除了 y=x((0.3645，0.3645)) 的解外，還有(12，14)，(14，12)（這三個解靠徒手畫圖是不容易顯示出來的．）

二、問題的探討

考慮過原點作函數y=logax（a＞0且a≠1）的圖象的切線，設切點為(x，logax)，

則切線的斜率為k=(logax)′=1xlna.

又k=logax-0x-0，令1xlna=logax-0x-0，

則x=e.

即直線x=e是過點(0，0)作對數函數圖象系列y=logax（a＞0且a≠1）的切線的軌跡方程.下面就以此為基礎討論y=ax和其反函數y=logax（a＞0且a≠1）

圖象交點的個數.

三、問題的解答

1.當底數a為大于1的常數時

若a=e1e時，logae=log1ee=e，此時切點為(e，e)，即此時過O(0，0)作函數y=logax的圖象的切線是直線y=x.由于y=ax與其反函數y=logax（a＞0且a≠1）的圖象關于直線y=x對稱，故當a=e1e（a＞1）時，一對函數y=ax和y=logax的圖象切于點(e，e).于是

﹙1﹚當底數a為大于e1e的常數時，函數y=ax和y=logax的圖象無交點.（如教科書上所示）

﹙2﹚當底數a=e1e時，函數y=ax和y=logax圖象只有一個交點(e，e)；

﹙3﹚當底數a的取值在區間(1，e1e)時，函數y=ax和y=logax的圖象有兩個交點.

2.當底數a在區間(0，1)時，同樣地

﹙1﹚當底數a滿足e-e≤a＜1時，函數y=ax和y=logax的圖象只有一個交點，且交點在直線y=x上；

﹙2﹚當底數a滿足0＜a＜e-e時，函數y=ax和y=logax的圖象交于三點.

四、應用舉例

【例】 已知e＜a＜b，求證：ab＞ba.

證明：考察函數y=lnx，過點O(0，0)的切線的切點是(e，1)，而當e＜a＜b時，設P(a，lna)，Q(b，lnb)，則kOP＞kOQ，即lna-0a-0＞lnb-0b-0，故blna＞alnb，得證.

(責任編輯 金 鈴）

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