轉化思想在中學數學中的應用

數學思想是人腦對現實世界的空間形式和數量關系的本質反映，是思維加工的產物，是人們對現實世界的空間形式和數量關系的本質的認識.高中數學中的轉化思想是數學思想的核心和精髓，是數學的靈魂.

轉化思想，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段，將問題通過變換使之轉化，進而得到解決的一種方法.通常情況下總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.轉化思想在高考中占有十分重要的地位，因為數學問題的解決總離不開轉化，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題轉化等.各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數學教學內容和解題過程中.因此說轉化思想是數學思想的核心和精髓，是數學的靈魂，它是最重要的、應用最廣的數學思想.本文就轉化思想在中學數學解題的應用作些探討.

一、轉化思想在解方程（組）中的應用

方程問題是中學數學中的重要分支，無理方程總是轉化為有理方程，分式方程轉化為整式方程，高次（或多元）方程轉化為低次（或低元）方程，最終都歸結為方程ax=b的形式.

【例1】 解方程4xx2-4=1+2x-2-1x+2.

分析：原方程兩邊乘以(x-2)(x+2)化為整式方程得x2-3x+2=0，最后解得x=1.

二、轉化思想在函數、統計中的應用

在函數這一章內容的教學中，常用到數與形的轉化思想.數是形的深刻描述，而形是數的直觀表現.借助于坐標系，可以將有序實數對與點、函數與圖像、方程與曲線有機地聯系在一起.例如，在進行二次函數y=ax2的性質教學時，通過對函數y=x2與y=-x2的圖像的比較，可直觀形象地歸納出它的性質（對稱軸、頂點坐標、開口方向），若不借助于圖像，則就很難得出它的性質是什么.

統計知識是與數據打交道的，整理數據的工作量較大，計算比較麻煩，有些內容可以用筆或計算器來算，但有些內容則不行.比如想了解某校學生身高在哪個范圍內的人數多，在哪個范圍內的人數少，這時需要頻率分布表和頻率直方圖來反映，前者比較準確，后者比較直觀，能讓我們對整個情況有一個清晰的了解.

三、轉化思想在立體幾何中的應用

轉化思想貫穿立體幾何的始終，是處理立體幾何問題的基本思想方法，具體體現有如下幾個方面：

第一，把立體幾何問題向平面幾何問題轉化，即立體問題平面化.如異面直線所成的角、線面角、二面角這三種空間角都是用平面角定義的，在解有關空間角的問題時，一般是將它們轉化為平面角來處理，最終化歸為解三角形.

第二，在論證平行與垂直關系時，應注意用“線線平行線面平行面面平行”與“線線垂直線面垂直面面垂直”進行轉化.

第三，在計算立體幾何中各元素間的距離時，根據它們的定義都可以化歸為兩點間的距離.例如，求異面直線的距離：或化歸為求公垂線段的長，或化歸為線面距離或面面距離，而這三種方法最終又化歸為兩點間的距離.

【例2】 底面是等腰梯形的四棱錐S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥

底面ABCD.求：

（1）側面SAB與底面ABCD所成二面角的大小；

（2）側棱SB與底面ABCD所成的角；

（3）異面直線SB和AD所成的角.

解：如圖所示，作SE⊥AB交AB于E，連結DE，則∠DES即為所求二面角的平面角.

設SD=CD=a，則AB=2a，

∴DE=a2#8226;tan60°=32a.

∴tan∠DES=DSDE=23=233

，∴∠DES=arctan233

.

（2）連結DB，即∠SBD為所求的直線與平面所成的角.

∵BD=DE2+BE2=3a

，∴tan∠SBD=SDBD=33，∴∠SBD=30°

.

（3）作BF∥AD交DC延長線于F，連結SF，則∠SBF

為所求的異面直線所成的角，

∵SF2=SD2+DF2=5a2，SB2=SD2+DB2=4a2，BF=AD=2AE=a，

∴BF2=a2.∵SF2=SB2+BF2，故∠SBF=90°.

另外，圖形語言與符號語言、文字語言的互譯等也都體現了轉化思想的應用.

數學的各個分支之間既有其各自獨立的一面，又存在著相互聯系的一面，教學過程中若能把握其內在的聯系，適當進行轉化，并注重轉化思想的滲透，則對培養學生的數學能力，幫助學生系統掌握數學知識具有重大意義.

參考文獻

胡炯濤.數學教學論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

(責任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文