基于非對稱角偏差的切段Von Mises分布模擬

［摘要］ 在非對稱角偏差下給出切段Von Mises分布的混合截斷表示，運用復合舍選抽樣法生成切段Von Mises分布的隨機數序列，對該分布進行模擬分析，給出其分布頻率直方圖和分布函數曲線圖，并對參數k1和k2做極大似然估計。

［關鍵詞］ 非對稱角偏差； 切段Von Mises分布； 模擬

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 14. 048

［中圖分類號］F273.2；X913.2 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673 - 0194（2011）14- 0083- 03

１引言

對于質量特性值以角度形式出現的質量控制問題，記ＡＬ為依技術標準確定的基本角度，ＡＬＵ和ＡＬＬ分別為角度公差上限和下限，ＡＴ ＝ ＡＬＵ － ＡＬＬ為角度公差。當ＡＴＵ － ＡＬ ≠ ＡＬ － ＡＴＬ時，稱為非對稱角度偏差。在角度為非對稱偏差的技術標準下，當ＡＴＬ ＜ ＡＬ ＜ ＡＴＵ時，切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布為Ｍ（ＡＬ，ｋ１，ｋ２）；當ＡＬ ＝ ＡＴＵ或ＡＬ ＝ ＡＴＬ時 ，依技術條件選擇小于ＡＴＵ或大于ＡＴＬ的某個角度μ０作為總體中位數，切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布記為Ｍ（μ０，ｋ１，ｋ２）［１］。

２切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布的混合截斷表示

由全概率公式得：

ｆθ（θ）＝ ｆθ（θ ｜ θ ≤ μ０）Ｐ（θ ≤ μ０） ＋ ｆθ（θ ｜ θ ＞ μ０）Ｐ（θ ＞ μ０）

＝ ０．５ｆθ（θ ｜ θ ≤ μ０） ＋ ０．５ｆθ（θ ｜ θ ＞ μ０）

＝ ０．５ｆ（θ；μ０，ｋ１，－∞，μ０） ＋ ０．５ｆ （θ；μ０，ｋ２，μ０，＋∞）（５）

（５） 式表明，切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布可以表示成兩個Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布的加權和形式，因此，切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布本質上是混合截斷Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布的特殊形式，特殊性表現在截斷分布為兩個半Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 分布且混合分布的權數為。

３切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布Ｍ（μ，ｋ１，ｋ２）模擬

３．１服從切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布Ｍ（μ０，ｋ１，ｋ２）隨機數序列的生成

運用復合舍選抽樣法［２－５］生成切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布隨機數序列，步驟如下：

（１） 產生兩組含有５０ ０００個均勻隨機數樣本Ｕ１和Ｕ２，并經過檢驗。

（２） 對均勻隨機數序列Ｕ１和Ｕ２分別采用反函數法生成兩組相互獨立的參數為１的指數分布隨機變量Ｙ１和Ｙ２。

由全概率公式得

ｆｚ（ｘ） ＝ ｆｚ（ｘ ｜ Ａ１）Ｐ（Ａ１） ＋ ｆｚ（ｘ ｜ Ａ２）Ｐ（Ａ２） ＝ ０．５ｆｚ（ｘ ｜ Ａ１） ＋ ０．５ｆｚ（ｘ ｜ Ａ２） （７）

結合（６）式可得

ｆｚ（ｘ） ＝ ０．５ｆ（ｘ；μ，σ１，－∞，μ） ＋ ０．５ｆ（ｘ；μ，σ２，μ，＋∞） （８）

設μ０ ＝ ０，ｋ１ ＝ １，分別取ｋ２ ＝ １、ｋ２ ＝ ０．５、ｋ２ ＝２，運用復合舍選法生成切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布Ｍ（μ０，ｋ１，ｋ２）隨機數。取樣本量ｎ ＝ １０ ０００，可得相應θ的分布函數的曲線圖形，如圖２所示。在圖２中，可以看出當ｋ２取值不同（分別取１、０．５、２）時，（９）式定義的分布對于中位數μ０的離散程度不同，且該分布是以Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布為基礎生成的，可由參數μ０、ｋ１和ｋ２確定。

４切段Ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ分布Ｍ（μ０，ｋ１，ｋ２）的點估計量及其模擬

（３） 隨著組內樣本量ｎ的增大該分布的標準差減小，但減小的相對幅度較小。

（４） 當組數ｍ從５ ０００增加到１０ ０００時，該分布的分布形態未發生明顯變化，表明ｍ ＝ １０ ０００的數據量足以描述該分布的分布形態。

５結論

主要參考文獻

［１］ 楊昆，李士昌，方英． 非對稱角度公差下的質量控制模擬［Ｊ］． 統計與決策，２００６（１５）：１３０－１３１．

［２］ 中國科學院計算中心概率統計組． 概率統計計算［Ｍ］． 北京：科學出版社，１９８３．

［３］ 徐鐘濟． 蒙特卡羅方法［Ｍ］． 上海：上海科學技術出版社，１９８５．

［４］ 高惠璇． 統計計算［Ｍ］．北京：北京大學出版社，１９９５．

［５］ Ｐａｐｏｕｌｉｓ Ａ， Ｐｉｌｌａｉ Ｓ Ｕ． 概率、隨機變量與隨機過程［Ｍ］． 第４版．保錚，等，譯． 西安：西安交通大學出版社，２００４．

［６］ 李元生． 方向數據統計［Ｍ］． 北京：中國科學技術出版社，１９９８．

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