一堂值得深思的數學課

　　2009年我在貴州師范大學數計學院讀教育碩士期間，我的老師汪秉彝教授在課上講了一個初中新課程教學的故事。他認識的一位中學數學教師，在講練習題時充分調動學生的積極性、主動性、參與性，一個練習題講了一節課，學生用了七種不同的解法，讓老師大吃一驚，覺得這是不可思議的、出乎意料的，原來學生是這樣得聰明。對于這個故事我是半信半疑，甚至懷疑是不是這位中學老師為了發表論文，自己杜撰的。因為在過去3年的教學中，我剛好教完一輪初中生，在我的課堂上從來沒發生過這樣的事情，請學生起來回答問題，不知為何沒有幾個愿意的，即使有幾個，做題的方法也沒有兩樣。2010年9月我回到教學崗位上，上八年級（1）班的數學課。上完第一章“勾股定理”時，我在參考書上見到了下面這道題，本來是想讓學生做做就可以了，接著講其他練習題。但這次真的出乎想象，我和那位中學教師一樣驚訝！下面是這節課的教學過程。
　　我在黑板上板書題目如下：
　　觀察下表：
　　請你結合該表格及相關知識，求出b，c的值。
　　6分鐘過去了，“同學們，有沒有人做出來了？”我問到。一位小女孩小聲說到，“老師，我做出來了。”我望過去，原來是班上成績中等的學生楊琰琪。“請你說說你的做法”，我說到。因為人太多，聲音太小，我并沒有聽清楚。我說：“能不能在黑板上寫下來？”于是，她上來寫下了她的解法。
　　解法如下：
　　所以b=84，c=85。
　　同學們在下面議論著，這樣行不行呢？我說這樣可以的。
　　同學們，還有其他方法嗎？“有”，一個響亮的聲音從教室的最后面傳來。原來是學習委員張爽同學。“請上來說說你的做法”，我說。該同學自信地走上講臺，在黑板上不慌不忙寫道：
　　解：由表知，
　　第一行：3=2×1+1；4=2×1×（1+1）；5=2×1×（1+1）+1
　　第二行：5=2×2+1；12=2×2×（2+1）；13=2×2×（2+1）+1
　　第三行：7=2×3+1；24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
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　　其中，畫線的1、2、3代表行數，因此得第n行對應的3個數，第n行：x=2n+1；y=2n（n+1）；z=2n（n+1）+1
　　因為13=2n+1
　　所以n=6
　　b=2×6×（6+1）=84
　　c=2×6×（6+1）+1=85。
　　很好，同學們還有其他方法嗎？話音剛落，從教室中間傳來了一個很自信的聲音，“老師我還有解法”。我放眼望去，原來是聽課不太認真、愛說話的王成同學。“好，請你上來講講你的做法。”
　　解：由前面3行可知，每一組數都是勾股數，因此滿足前面兩個數的平方和等于第三個數的平方，且后面兩個數相差1，所以c=b+1。由勾股定理可得：
　　c2=b2+132
　　即（b+1）2=b2+132
　　展開得：
　　b2+2b+1=b2+169
　　所以b=84
　　c=85。
　　“很棒啊！還有解法嗎？同學們，有的話就大膽上來。”“有”，一個聲音從第一排位置上傳來。原來是學習比較認真的顧欽鈞同學。“請上來和大家交流一下你的解法。”
　　解：由前面3行可知，每一組數都是勾股數，因此滿足前面兩個數的平方和等于第三個數的平方，且后面兩個數和為169，可得：
　　b+c=169
　　即b=169-c
　　又由b2+132=c2
　　即（169-c）2+132=c2
　　展開得：
　　1692-2×169c+c2+132=c2
　　2×169c=1692+132=169×（169+1）
　　所以c=85
　　b=84。
　　我看了一下表，時間還有5分鐘。我想就此題做小結。突然傳來了一個聲音，“老師，我還有一種解法”。我看了看，是徐通同學。還有一種，我沒有聽錯吧，心想看你還有什么高招，“那就請徐通同學上來交流一下他的做法。”只見該生連講帶寫在黑板上板書。
　　解：由表知，
　　第一行：4，5；第二行：12，13；第三行：24，25；它們都是連續整數。相差1，因此，c=b+1
　　又c+b=169
　　即b+（b+1）=169
　　可得b=84，c=85。
　　我看了一下，啊！這么簡單，我簡直不敢想。寫玩后，徐通同學問到：同學們聽懂了嗎？聽懂了！接著，雷鳴般的掌聲響徹了教室的上空，我也情不自禁地用力拍著雙手。
　　鈴聲響了，學生意猶未盡，一節課就這樣不知不覺地過去了。我帶著驚訝走出了教室，心情既高興又沉重，高興的是我們的學生是這樣的聰明，敢想敢做，對于同一個題用了我不敢想象的多種方法做出來了。沉重的是，我過去的教學方法、方式是不是有什么問題，過去為什么不這樣放開讓學生去思考、去做呢？如果我這樣充分調動學生的自主性、積極性、參與性，我過去的教學效果是不是會更好？學生是不是能取得更好的成績？……上完這節課后，我一夜不能入眠。反思過去，思考未來，感到當一位合格的教師還有許多東西要學，任重道遠。
　　（作者單位 黃鵬：貴州省赫章縣綜合職高 林筑英：貴州師范大學）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文