初中數(shù)學(xué)開放題探析

　　 摘要：本文從代數(shù)開放題、幾體開放題、綜合性開放題三個(gè)方面討論了初中數(shù)學(xué)開放題的類型和解法以及具體實(shí)施時(shí)應(yīng)注意的問題。
　　 關(guān)鍵詞：代數(shù)開放題；幾何開放題；綜合性開放題
　　
　　數(shù)學(xué)開放題指條件不完備，結(jié)論不確定，解題策略多樣化的題目。由于它具有與傳統(tǒng)封閉型題不同的特點(diǎn)，因此在數(shù)學(xué)教育中有其特定功能。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)為學(xué)生提供了更多的交流與合作的機(jī)會(huì)，為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件；數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建，積極參與的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”；數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程也是學(xué)生探索和創(chuàng)造的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索開拓精神和創(chuàng)造能力；數(shù)學(xué)開放題教學(xué)是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)發(fā)展潮流。本人平時(shí)對(duì)初中數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行積累研究，下面就開放性問題的類型進(jìn)行歸納，并通過典型實(shí)例探討其解法。
　　一、代數(shù)開放題
　　代數(shù)開放題包括：數(shù)與式開放題、方程開放題、函數(shù)開放題三類。
　　數(shù)與式的開放題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn)，解題要求能善于觀察分析、歸納所提供的材料，猜想其結(jié)論。方程開放題主要是以方程知識(shí)為背景，探索方程有解的條件或在某種條件解的情況，求字母參數(shù)的值。函數(shù)開放題是以函數(shù)知識(shí)為背景，設(shè)置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關(guān)系，滿足某條件的點(diǎn)的存在性等。下面舉一函數(shù)開放題對(duì)其解法加以探究：
　　例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像（如圖1）所示，問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a，b，c的哪些關(guān)系。
　　分析：①a>0；②-=，即2a+3b=0;
　　 ③c=-1；④=-；⑤從而得a=；
　　⑥由②，⑤得b=-。
　　此題是一道典型的“圖像信息”開放題，只有認(rèn)真觀察圖像上所給出的各個(gè)數(shù)據(jù)及位置特征，靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，才能找出所有的關(guān)系與結(jié)論。
　　二、幾何開放題
　　這類問題以幾何圖形為背景，設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點(diǎn)、線位置關(guān)系。
　　例2 （如圖2） 四邊形ABCD是
　　⊙○的內(nèi)接四邊形，A是的中點(diǎn)，
　　過A點(diǎn)的切線與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E。
　　（1）求證：AB?DA=CD?BE；
　　（2）若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？
　　（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）
　　思路分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執(zhí)果索因”（如圖3）。要得到AB?DA=CD?BE，即要得到=，即要得△ABE∽△CDA，已有條件∠ABE=∠CDA，還需增加條件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等。
　　（1）證明：連接AC（如圖3）∵點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，∴=。∵EA切⊙○于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙○上，
　　 ∴∠1=∠3=∠2。∵四邊形ABCD是
　　⊙○的內(nèi)接四邊形
　　∴∠ABE=∠D ∴△ABE∽△CDA
　　 ∴ = ∴AB?DA=CD?BE
　　（2）解（如圖4）：具備條件=（或BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD）等，使原結(jié)論成立。
　　此題是一道條件探索性試題。解答這類題目的一般方法是“執(zhí)果索因”，能畫出圖形的要盡量畫出圖形，再結(jié)合圖形逆向推導(dǎo)直到探索出需要增加的條件。此題要使原結(jié)論成立，可探索出的條件較多，從而打破了封閉性問題的“已
　　知——求證”的模式，激發(fā)學(xué)生的思維積極
　　性，對(duì)所研究的問題進(jìn)行探索，訓(xùn)練了他們
　　的思維的廣度。
　　三、綜合性開放題
　　此類問題是以幾何、代數(shù)綜合知識(shí)為背景，考查分析、推理能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的解題能力。
　　 例3 如圖5，已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，AB為⊙○的直徑。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1厘
　　米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始
　　沿CB邊向點(diǎn)B以3厘米/秒的速度運(yùn)
　　動(dòng)。P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中
　　一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
　　求：（1）t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？（2）t分別為何值時(shí)，直線PQ與⊙○相切、相交、相離？
　　分析：此題考查了在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PQCD形狀的變化情況，直線PQ與⊙○位置的變化情況。第（1）問要抓住兩種特殊四邊形的性質(zhì)特征，第（2）問要從PQ與⊙○相切的關(guān)鍵位置入手，尋求其數(shù)量關(guān)系。
　　解：（1）∵AD∥BC，∴只要QC=PD，四邊形PQCD為平行四邊形。此時(shí)，有3t=24-t，解得t=6。故當(dāng)t=6時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形。同理，只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C
　　四邊形PQCD為等腰梯形。過P，D分別作
　　BC的垂線交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（如圖6），則
　　由等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2。
　　∴ 2=[3t-(24-t)]∴t=7。
　　∴當(dāng)t=7秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形。
　　（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙○相
　　切于點(diǎn)G（如圖7），過P作PH⊥BC，
　　垂足為H， 則PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。
　　由切線長(zhǎng)定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。
　　由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2。
　　化簡(jiǎn)整理，得3t2-26t+16=0，解得t1=，t2=8。
　　即t=秒或t=8秒時(shí)，直線PQ與⊙○相切。
　　 ∵t=0秒時(shí)，PQ與⊙○相交；當(dāng)t==8秒時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，P點(diǎn)尚未運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，但也停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)PQ也與⊙○相交。
　　故當(dāng)t=或t=8時(shí)，直線PQ⊙○相切；當(dāng)0≤t<或8≤t<8時(shí)，直線PQ與⊙○相交；當(dāng)　　本例是一個(gè)“動(dòng)態(tài)型”開放題，解這類問題的關(guān)鍵是分析運(yùn)動(dòng)變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動(dòng)”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件，利用分類討論思想，各個(gè)擊破。
　　初中數(shù)學(xué)開放題，思維廣闊，可以打破學(xué)生的思維定式，消除“模仿解題”的習(xí)慣，同時(shí)根據(jù)學(xué)生個(gè)性發(fā)揮其聰明才智，敢于創(chuàng)新，發(fā)散思維及嘗試探索的能力。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　[1]胡炯濤.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].南寧：廣西教育出版社，1998.
　　 （浙江師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院）