一道課本例題的演變\\拓展及應用

　　課本例題和習題具有不容置疑的示范性和權威性，而其極強的衍變能力成為高考試題推陳出新的源泉，因而，深受高考命題專家的青睞.在它們身上做文章不僅能使學生鞏固所學的新知識，學會運用新知識解決實際問題，而且還有助于學生掌握和運用數學思想、方法，發展學生的數學思維，最終達到提高學生發現問題、分析問題、解決問題的能力的目的。那么，作為教師該如何抓住教材例、習題之間的聯系，引導學生對這些例、習題進行演變、拓展和應用呢？
　　問題提出：普通高中新課程標準實驗教科書（人教版）A版選修2-1P41例題3
　　設點A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程。
　　分析：設點M的坐標為（x，y），那么直線AM、BM的斜率就可以用含x，y的式子來表示，再由kAM?kBM=-得出點M的軌跡方程.
　　解：設點M的坐標為（x，y），因為點A的坐標為（-5，0），
　　所以，直線AM斜率為kAM=-（x≠-5）
　　同理，直線BM斜率為kBM=（x≠5）
　　由已知得?=-（x≠±5）
　　化簡，得點M的軌跡方程為+=1（x≠±5）.（橢圓）
　　類似地，出現在教材及高考題中的有：
　　1.普通高中新課程標準實驗教科書（人教版）A版選修2-1P55探究。
　　設點A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM交于點M，且它們的斜率之積是，試求點M的軌跡方程。
　　仿照例3的思路，有?=（x≠±5）
　　化簡，得點M的軌跡方程為-=1（x≠±5）.（雙曲線）
　　2.普通高中新課程標準實驗教科書（人教版）A版選修2-1P80復習參考題10：
　　已知VABC的兩個頂點A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0），且AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）試探求頂點C的軌跡.
　　仿照例3的思路，有?=m（x≠±5）
　　化簡，得點C的軌跡方程為-=1（x≠±5）
　　當-1＜m＜0時為焦點在x軸上的橢圓，
　　當m=-1時是圓心在原點，半徑為5的圓，
　　當m＜-1時為焦點在y軸上的橢圓，
　　當m＞0時為焦點在x軸上的雙曲線.
　　3.（2010北京理19）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-，求動點P的軌跡方程。
　　解：因為點B與A（-1，1）關于原點O對稱，所以B點得坐標為（1，-1）。
　　設點P的坐標為（x，y）
　　由題意得?=-
　　化簡得x2+3y2=4（x≠±1）.
　　故動點的軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）.
　　為了充分挖掘例題的教育功能，我們誘導學生將問題提出的條件與結論互換后繼續探討。
　　演變1：設點A、B是曲線-（x≠±5）在軸上兩端點，P是曲線上異于A、B的任意一點，求kPA?kPB的值。
　　解：由題意知，A（-5，0）、B（5，0），設點P的坐標為（x，y），（x≠±5）
　　則kAM=，kPM=所以，kAM?kBM=
　　又P是曲線上的點，所以y2=mx2-25m，，代入上式得：kAM?kBM=m.
　　說明：此時的曲線包含焦點在x、y軸上的橢圓（m＜0）及焦點在x軸上的雙曲線（m>0）及圓（m=-1）.
　　更一般地，可將A、B視為過橢圓中心的直線與橢圓的交點，P為橢圓上異于A、B任意一點，此時，kAM?kBM的值是否變化呢？
　　演變2：設橢圓+=1（m>0，n>0）（不論焦點是在x軸上，還是焦點在y軸上）上任意一點P，與過中心的弦AB的兩端點A、B連線PA、PB與對稱軸不平行，求kAM?kBM的值。
　　解：設P（x，y），A（x1，y1）則B（-x1，-y1）∴+=1，+=1兩式相減得：
　　=，∴=-
　　∴kAM?kBM=??==-為定值。
　　說明：此性質是圓的性質“圓上一點對直徑所張成的角為直角，即kAM?kBM=-1”在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質屬性。
　　進一步思考：若將橢圓改為雙曲線，命題是否成立？
　　演變3：設雙曲線+=1（m>0，n<0）上任意一點P與過中心的弦AB的兩端點A、B連線PA、PB與對稱軸不平行，求的kPA?kPB的值。
　　解：設則P（x，y），A（x1，y1），則B（-x1，-y1），
　　∴+=1，+=1兩式相減得：
　　∴+，∴=-
　　∴kAM?kBM為定值。
　　歸納：對于方程+=1（m>0，n<0或mn<0）上任意一點P與過中心的弦AB的兩端點A，B連線PA、PB與坐標軸不平行，則kAM?kBM=-（定值）
　　①當m=n>0時，方程為圓，此時kAM?kBM=-1；
　　②當m>0，n>0且m≠n時，方程為橢圓，此時kAM?kBM=-；
　　③當mn<0時，方程為雙曲線，此時kAM?kBM=-.
　　說明：仍可進一步思考，當曲線的中心不在原點時，結論是否發生變化？
　　演變的應用1：（09福建文22）已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線l：x=與直線分別交于M、N兩點。
　　（I）求橢圓C的方程；
　　（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；
　　解：（I）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），上頂點為D（0，1），∴a=2，b=1
　　故橢圓的方程為+y2=1
　　（Ⅱ）設M（，y1），N（，y2）
　　則由演變2知：kAM?kBM=-
　　即?=-
　　y1y2=-
　　∴|MN|=|y1-y2|=y1+（-y2）≥2＝
　　當且僅當y1＝-y2＝-時取等號
　　故線段MN的長度的最小值為。
　　（此解法比標準解答簡捷得多）
　　演變的應用2：（06東北模擬）B1，B2是橢圓+=1（a>b>0）的短軸的兩端點，P是橢圓上與B1，B2不重合的點，B1P，B2P分別交x軸于M，N兩點，
　　求證：|OM|?|ON|為定值。
　　證明：（如圖）B1（0，b）B2（0，-b）
　　設M（xM，0），M（xN，0）
　　則由演變2知：即
　　kPB1?kPB2=-，即kMB1?kNB2=-
　　?=-
　　∴xM?xN=a2
　　∴|OM|?|ON|=a2
　　將演變中的條件kPA?kPB=-進一步延伸，可得：
　　拓展1：若M是橢圓+=1（m>0，n>0）（不論焦點是在x軸上，還是焦點在y軸上）的弦AB之中點，則直線OM與直線AB的斜率之積為定值。
　　證明：（如圖）連接AO并延長交橢圓于點P，連結OM，BP，則OM∥BP
　　∴kOM=kBP
　　由性質知kAB?kPB=-
　　∴kOM?kAB=-為定值
　　說明：此性質是圓中的垂徑定理“圓心與弦中點連線垂直于弦”在橢圓中的推廣。
　　若將橢圓改為雙曲線，命題是否成立？
　　拓展2：若M是雙曲線+=1（mn<0）的弦AB之中點，
　　則kOM?kAB=kPB?kAB=-
　　若將橢圓改為拋物線，命題會發生什么變化？（學生思考、解釋）
　　拓展3：若M是拋物線y2=2px（p>0）的弦AB之中點，求直線OM與直線AB的斜率之積。
　　解：設M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）則y12=2px1，y22=2px2，兩式相減得：
　　y12-y22=2p（x1-x2），=2p
　　∴kOM?kAB=?=
　　拓展應用1：（2010全國卷2理21）己知斜率為1的直線l與雙曲線C：+=1（a>0，b>0）相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．求C的離心率。
　　解：由拓展2知
　　k1?kOM=即1?=
　　∴e=2
　　拓展應用2：（06上海文21）已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F（-，0），右頂點為D（2，0），設點A（1，）.
　　（1）求該橢圓的標準方程；
　　（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
　　解：（1）（解法略）橢圓的標準方程為+y2=1
　　（2）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x0，y0），
　　由x=y= 得x0=2x-1y0=2y-
　　由，點P在橢圓上，得+（2y-）2=1，
　　∴線段PA中點M的軌跡方程是
　　（x-）2+4（y-）2=1.
　　若用拓展1，本題（2）可這樣解：
　　設線段AB，CD的中點分別為M，M′，
　　由拓展1知k1?kOM=-k1?kOM′=-
　　∴kOM=kOM′故M與M′重合
　　又|AM|=|BM|及|CM|=|DM|∴|AC|=|BD|
　　由此可見，一般方法雖然具有一定的代表性，但運算比較復雜，稍不小心，便前功盡棄。而運用拓展的知識，運算簡捷明了，一步到位。
　　總之，在中學數學教學中，例題教學占有相當重要的地位，研究例題不僅可達到加深學生對概念、法則、定理等基礎知識的理解和掌握的目的，更重要的是可達到開發學生的智力，培養和提高學生解決問題的能力的目的，從而促進學生數學素養的提高。因此，只有充分挖掘例題的內涵，拓展其外延，才能有效地促進學生的數學能力的提高，發展學生的數學應用意識和創新意識，達到以例啟思、以點帶面、觸類旁通、創新變通的目的。這正是我們數學教師執著追求的目標！（責任編輯劉永慶）
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”