初探高考數學試卷中的“五種基本能力”

　　在各地高考數學說明（或考試大綱）中都提到了以下五大基本能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力。盡管這五大基本能力老生常談，關于五大基本能力的培養更是仁者見仁，智者見智，但這五大基本能力在高考數學試卷中的具體體現卻鮮有人提，而這五大基本能力卻實實在在地體現在高考試卷中，并得到了不斷的發展，其經典之處經久不衰，創新之處令人眼前一亮。現就這五大基本能力，結合歷年的高考試卷進行一一探析。
　　一、空間想象能力
　　1.平面圖形與立體圖形的相互轉化
　　空間想象能力的考查要求能夠根據題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據平面直觀圖想象出空間圖形。這就要求學生具有化抽象為具體的能力，能夠站在空間的角度研究點、線、面；要能夠根據條件在腦海中構建出相應幾何圖形，把抽象的語言、條件直觀化、圖形化，將平面的圖形構建成空間圖形則是其中的一種。2010年山東高考理科卷選擇題第3題，考查的是空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質，本題屬于基礎題，由空間直線與平面的位置關系及線面垂直與平行的判定與性質定理可以很容易得出答案。2010年陜西高考理科卷第7題是三視圖問題，不僅要求考生能夠構建相應的立體圖形，還要求出立體圖形體積。
　　在歷年的高考試卷中，三視圖、平面展開圖等圖形轉化問題備受歡迎，原因在于此類問題能夠很好地檢測出學生的空間想象能力，而且難度系數不大，屬于基礎題。
　　2.立體圖形中的基本元素及基本平面圖形
　　對于空間圖形，要能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解與組合。這是空間想象能力中的另一要求，不僅要求認識圖形，還要能夠對具體的圖形進行解剖，找出其中的關鍵點、線、面等，要能夠通過條件判斷出它們之間的關系。不僅如此，還要能夠將圖形進行肢解，找出“基本圖形”。例如，在復雜的、陌生的圖形中找出“垂直、平行，三棱錐、三棱柱、正方體等”。在以往的立體幾何考查試題中，我們發現，立體幾何題中的第一問通常考察垂直、平行，這已經成為一種定勢，目的是“將分送到考生的手上”，但第二問就有一定的變化，可以考查角、體積、表面積，也可以考察點到面的距離，如2010年江蘇卷高考立體幾何題、2008年北京高考理科卷第16題、2010年山東高考理科卷解答題第19題等都是常規的立體幾何題，大多是求面面、線面垂直平行，接著是求夾角類問題（近年江蘇卷對立體幾何中的夾角問題逐步降低了要求，很少出現在高考卷中），最后是面積、體積、距離等問題，一道立體幾何題幾乎覆蓋教材中的所有需要掌握的知識點。證明題中線面、面面垂直平行的證法是平時掛在嘴邊的幾個“?圯”；求夾角所用的方法大多是構建平面三角形，并解三角形等方法；載體圖形大多是常見的正方體、錐體、柱體等。盡管高考立體幾何題似曾相識，但考生需要在短時間內快速分析立體圖形中的基本元素，并結合立體幾何基本性質解決問題。
　　在高考中，立體幾何也經常出現一些新的題型，將立體幾何與其他知識結合，如將立體幾何與函數、概率、復數等新課程實施后新加的內容相組合。只要基礎扎實，認清本質，這類創新型題難度不是很大。如：
　　例1（2008年北京高考理科卷第8題）如圖，動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N．設BP=x，MN=y，則函數y=f（x）的圖像大致是（ ）
　　該題便是一道創新型立體幾何題，它將函數圖像與立體幾何相結合，從立體圖形中點的移動，來判斷兩線段長度變化情況，并選擇合適的函數圖像，考生需要有一定的空間想象能力，能夠在大腦里動態地看立體幾何的運動狀態，該題答案為B。此類創新型題型在以后的高考中還將不斷出現。
　　二、抽象概括能力
　　1.問題本質的探究
　　抽象概括能力是對實例的探索，要能夠發現研究對象的本質；能夠從給定的信息材料中概括出一些結論，并用于解決問題或作出新的判斷。抽象概括能力可以歸納為兩點：一是發現本質，二是作出判斷，進而解決問題。發現本質是要求學生能夠從給定的問題中發現其中會運用到的規律及相應的定理等，并準確地判斷出問題的實質。這類能力需要在平時的練習中不斷總結，不斷歸納，形成一定的挖掘信息材料的能力。例如，2010年江蘇高考卷的質，大膽往下走，題目怎么說就怎么做。另外，在很多問題中會出現各種各樣的遞推關系，看似很陌生的東西中蘊含大家所熟悉的知識或方法，這需要學生具有從一般的信息問題中概括出基本規律，并作出基本判斷，從中尋找解決問題的方法，進而解決問題。
　　2.挖掘信息中的本質，并解決實際問題
　　《普通高中數學課程標準》提出：力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。挖掘信息中的本質則成了解決實際問題的先導，只有發現了問題的本質才能選擇合適的數學工具進行解決問題，在歷年的高考試題中都有此類問題的出現。如：
　　例2（2010年江蘇高考卷第17題）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位m），如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
　　（1）該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值。
　　（2）該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，α-β最大。
　　本題巧妙地將三角函數與實際的測量問題相結合，考生需要從題中發現三角函數是該問題的本質，并作出判斷，構建相應的三角形，進而選擇三角函數中的正切來解決實際問題。此題較好地體現了新課改中“發展學生的數學應用意識”的要求。
　　三、推理論證能力
　　推理論證能力要求能夠根據已知的事實和已經獲得的正確的數學命題，運用歸納、類比和演繹進行推理，論證某一數學命題的真假性。這種能力是幾乎在每一道數學題中都能用到，只是由于試題的簡單或者常見，大家沒注意總結其思維方法罷了。然而，這種能力在開放式試題中體現得淋漓盡致。開放式問題不告訴你結論，只告訴你猜想，要你判斷該命題成立與否，成立要求證明，不成立要求給出充分的理由，這就需要你通過已學的知識或者已知的結論來論證該問題是否成立。開放式題型一直是高考的熱點，近年來，各地的高考試卷中都出現了此類題型。之所以熱衷于此類題型，是因為它能夠很好地考查學生的思維能力，從而把學生有所區分，達到選拔人才的目的。江蘇卷前幾年熱衷于所謂開放式題型，但近兩年已有所變化，不是單純地開放，而是要求考生能夠學會猜想和發掘。
　　例如2009年江蘇卷的壓軸題的第3問為：設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集。該問要求直接寫出“解集，不要求給出演算步驟”，看似只要能夠“猜對”就行，但憑空瞎猜肯定不可能得到答案，這就需要嚴格的推理和論證，只有建立在嚴密推理的基礎之上的猜想才有可能“猜”正確。另外，2004年全國理科卷的數列問題對推理論證能力也有較高的要求。
　　四、運算求解能力
　　運算求解能力的要求是能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算。運算求解能力提出了三點要求：一是會運算、變形，二是能設計合理的運算途徑，三是數據估計與近似。
　　
　　1.基本運算與變形
　　運算、變形是數學的最基本的能力，但運算變形的要求則較高，一道試題的運算出現差錯、運算時間過長或者變形出現偏差，則會導致不必要的失分或者浪費寶貴的考試時間，因此對于運算變形能力要求準確、快速、合理。每份高考數學試卷都會對基本運算和變形提出要求，甚至有專門的題型來體現運算能力，此類題的難度不是很大，主要考察考生的基本運算和變形能力。
　　2.最優運算途徑的設計
　　運算途徑的選擇是近幾年高考的另一熱點，這就是經常提到的一題多解。高考數學試卷中的部分試題都是可以通過多種方法解決，但在這些方法當中有一種或兩種是最優的，能夠快速準確地解決問題。而其他方法雖然也能夠解決問題，但運算量可能偏大，過程偏繁。這就需要考生能夠設計出合理的運算途徑來解決。
　　例如2009年江蘇高考試卷中的第19題，運算、變形方法較多，但各種方法的效率卻大相徑庭，運算途徑的選擇決定了計算量、決定了解題速度。
　　3.數據的估計與近似計算
　　對數據估計與近似計算是新課程實施后另一大應用性較強的知識點，在一些地方的高考試卷中已有所體現，如近年來的陜西卷。江蘇《2011年高考說明》中明確地指出“對數據的估計與近似處理”，這說明有關“估計”的內容有可能是以后高考中另一熱點，我們在平時的訓練中應當特別重視。
　　五、數據處理能力
　　數據處理能力要求運用基本的統計方法對數據進行整理、分析，以解決給定的實際問題。在以往的高考試卷中也有利用統計的方法解決實際問題，但一直忽略“實際”二字，停留在人為的“實際”層面，如2009年江蘇卷的第6題，2010年江蘇卷的第4題。在統計概率這一章節中，往年考查隨機事件、古典概型、幾何概型等方面偏多，今后有可能在數學期望、總體分布估計、總體特征數等方面有所側重，因為統計的知識在日常生活中運用比較廣泛，能夠與生活相關聯，而且在統計概率方面，總體特征數的估計已有一定要求，與古典概型處于同一要求。另外，高等數學與這些知識關聯較大，備受高校歡迎。如2008年陜西高考理科卷第18題，除考查基本的概率問題外，還專門考察大學里應用較多的分布列及數學期望問題。因此，平時的訓練要多留意這方面的知識，注重基本方法與思維過程。
　　數據處理能力未來的發展方向是不斷聯系生活，將生活中常見的各種統計類問題整理成數學問題，如經常聽說的消費者物價指數CPI、PPI、通貨膨脹等問題，不排除將此類關系民生的問題納入以后的高考數學試卷。這就要求考生要關注時事，又要能通過數據的分析、整理進而對當前的某一現實狀況作出判斷。統計章節是中學數學中最“實用”的章節，能夠很好地體現《普通高中數學課程標準》中的“發展學生的數學應用意識”，因此，高考中不會放棄這一“有用”的章節。
　　在高考數學試卷中，五種能力是相互交融，相互支撐，靠一味的模仿、看題是不能提高五大基本能力的，正如羅增儒教授所說，解決高考題的探求不是“規則的簡單重復”和“操作的生硬執行”，而是需要深入地理解基本概念、定理，并對基本方法不斷熟練。因此，在平時的訓練中，我們應當通過解題鍛煉思維，這樣才能提高自己的五大基本能力。
　　參考文獻
　　[1] 羅增儒.2010年高考數學陜西卷理科第20題剖析（續）.中學數學教學參考（上旬），2010（9）.
　　[2]江蘇省教育考試院制訂.2011年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明.南京：江蘇教育出版社，2010.
　　[3] 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）.北京：人民教育出版社，2003.
　　（責任編輯劉永慶）
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