思維能力培養與高效數學課堂的關系

　　著名數學家坡利亞曾統計，學生畢業后，研究數學和從事數學教育的人占1%，使用數學的人占27%，基本不用或很少用數學的占70%。現代數學教學的主要目的和任務早已不再是簡單的知識傳授及方法傳導，而是通過數學教學，在掌握知識和方法的同時，培養學生的各種思維能力。對于大多數學生來說，掌握數學思想方法和思維方式比形式化的數學知識更重要。因此，在數學教學過程中，要把高效思維能力的培養放在重要的位置，在保障學生充分體驗學習過程的基礎上，盡量縮短無效時間，再把無效時間轉化為有效利用，實現高效數學課堂的目標。
　　一、激發思維意識是高效課堂的起點
　　愛因斯坦曾說：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要。”思維往往是由問題激發的，一個好的問題能使思維得以產生、維持和深入。古往今來，凡有創新精神的人無不具有強烈的問題意識，他們常常主動地帶著懷疑的眼光去觀察世界、發現問題，而為了促成問題的解決，就自然有了獨立思考的意識。因此，在教學活動中，鼓勵學生質疑，有助于激發、培養學生的思維意識。
　　1.在教學過程中鼓勵學生對教材內容進行質疑
　　比如，在對數概念教學中，學生提出疑問：為什么指數式24=16可以化為對數式4=log216，而（-2）4=16不可以化為4=log（-2）16？如果教師簡單地告訴學生“教材就是這樣規定的”，就會扼殺學生思維的火花。遇到學生的質疑，教師必須給予肯定，同時課堂上要鼓勵大家共同討論已提出的質疑，激發學生的思維意識，通過討論由學生自己探究原因：指數函數y=ax中的底數a>0且a≠1，因此指數式ax=N中也應規定底數a>0且a≠1，從而順理成章地推出logab中底數a>0且a≠1，b>0的條件。
　　2.在解題教學中鼓勵學生對題目本身或已有的解題方法提出質疑
　　無窮數列{an}滿足：a1=，an2-2an+2an-1=0（n=2，3，……）
　　求證：（1）0　　求證：（2）++……+<2008
　　教學中教師先給出第（2）問的解答過程：
　　∵an2-2an+2an-1=0（n≥2）∴2an-1=an（2-an）
　　則==+∴=-（n≥2）
　　++……+
　　=+（-）+（-）+……+（-）
　　=+-<=2008
　　然后教師鼓勵學生對題目和解答過程進行質疑，積極探索、思考和討論：
　　學生1：由（1）得0，當n≥4016時，（2）中要證明的結論明顯是錯誤的。
　　學生2：把第（1）問去掉，直接作第（2）問。
　　學生3：如果少了0　　學生4：可以把“無窮數列”改為“有窮數列”，加上條件n<4016。
　　學生5：這樣改動違背了出題者的意圖。
　　經過反復討論，該題目最終修正為：無窮數列{an}滿足：
　　a1=，an2-2an+2an-1=0（n=2，3，…m，m∈N，m>1）.
　　（1）求證：0　　（2）求證：++……+<2008
　　二、創設思維環境是高效課堂的前提
　　傳統的教學是教師經過精心準備、以講授為主的灌輸式教學，這種教學方法往往會埋沒學生的思維閃光點，自覺不自覺地扼殺了對學生的思維培養。所以，應該改進教學方法，為學生創設思維環境。（1）設計思維障礙，激發討論。教師在做題時也會碰壁，而教師碰壁之后的思維調整過程學生體會不到，自然就不利于對學生思維能力的培養。在解題教學時，教師應該在學生最容易造成思維定勢、最容易出現思維障礙的環節設計問題，讓自己在解題中出現思維受阻得以顯現，激發學生討論的欲望，和學生一起討論調整思路，探索解題途徑，培養學生解決疑難問題的韌勁和良好的思維習慣。（2）模擬原始思維，探索討論。現行教材中許多內容都省略了發現、探索的過程，而這些定理性質是如何被發現的，解決問題的方法又是如何構想的，對學生來說有一種說不出來的神秘感和疑惑感。在教學活動中，模擬知識形成的原始思維，組織學生探索知識形成的過程，為學生創設思維情境。
　　在研究正弦函數、余弦函數的性質時，教材中關于奇偶性的結論為：正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數。如果對此結論不引導學生進行探究討論，那只能是走過場，達不到培養思維的目的。在教學中，我們可以結合正弦曲線、余弦曲線把這個性質結論作為“切入點”引導學生作如下方面的探究討論：
　　問題①：y=sinx圖像的對稱軸是否存在？如果存在，有多少條？其數學表達式是什么？
　　問題②：y=cosx圖像的對稱軸是否存在？如果存在，有多少條？其數學表達式是什么？
　　問題③：y=sinx，y=cosx圖像有對稱中心嗎？對稱中心有什么特征？
　　問題④：對于函數y=sin（2x+）、y=cos（2x+）你會求它們的對稱軸和對稱中心嗎？
　　通過對以上幾個問題的探究討論，借助直觀圖形，使學生深刻領悟正弦函數、余弦函數奇偶性的性質，同時又能應用正弦函數、余弦函數的奇偶性解決其他問題。這樣的探索討論，不僅充分揭示了問題的提出、形成和發展的過程，而且使學生在整個教學過程中始終處于積極的思維狀態，達到思有源泉、思有方向、思有順序、思有所獲，促進了知識的遷移，有利于內化為學生的能力。
　　三、誘發思維靈感是高效課堂的保障
　　愛因斯坦指出：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切。”嚴格地說，“想象力是科學研究中的實際因素”。想象是人腦中對已有表象進行加工、創新形象的心理過程，它具有形象性、概括性、整體性、自由性、靈活性。世界萬物都處于普遍聯系當中，當一個數學問題難以下手時，我們的一個常有思維突破口是從與之相似問題的區別與聯系中類比，找到規律，產生由此及彼的聯想。數學課堂應該教會學生這種由此及彼的聯想思維。（1）從學生熟悉的環境出發，聯想生活實際，提出問題，鼓勵引導學生大膽猜想，不怕出錯，養成良好的探究習慣。如：在講正方體、圓柱體、球體的體積和表面積公式時，設計與實際有聯系的問題：要做成正方體、等邊圓柱、球三種容器，容積相同，哪一個更省材料？引導學生與生活聯系起來，多方位思考，由圖形特征進行探究性學習。（2）教師要善于以問題為載體，將知識組成問題鏈。在教學中，教師可以把一個看似孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規律的、可以聯想的、可探尋的系列，幫助學生在問題的解答過程中聯想解決類似問題的思路和方法。（3）以聯想思維訓練為主線組織探究學習。通過聯想訓練，使學生在平時的學習中能主動地、有意識地對數學概念、性質、定理、公式以及問題，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背境，變更問題的條件和結論等，做出有效的探究學習，使之養成探究問題的習慣。
　　由此不難看出，圍繞某節課的教學內容、教學目的和教學要求，教師借題生話、借題發揮，將基礎知識、基本技能、基本方法逐步融溶于題組中，并引導學生逐層討論、聯想，誘發思維靈感，以期取得課堂效率的最大化。
　　四、思維習慣的培養是高效課堂的目標
　　教學過程中要培養學生良好的反思習慣。在學習過程中，學生往往注重于結論的正確與否，而很少從關注獲得這個結論的思維過程中反思問題，深化知識。教師應該啟發、引導學生（根據需要和可能）去反思思維過程。
　　下面以直線和拋物線的關系一課來說明之。
　　問題：過拋物線y2=2x（p>0）焦點的一條直線與拋物線交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），求證：y1y2=-1
　　結論1：過拋物線y2=2px（P>0）焦點的一條直線與拋物線交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則有：y1y2=-p2、x1x2=
　　教師應啟發、引導學生：還有什么問題值得我們關注和反思？
　　反思問題1：過X軸上的任一點（a，0）的直線與拋物線y2=2px（p>0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否也都為常數呢？
　　反思問題2：過y軸上的任一點（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y2=2px（p>0）交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否為常數呢？
　　反思問題3：過平面上任一點（a，b）的直線與拋物線y2=2px（p>0）交于兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否為常數呢？
　　反思問題4：斜率為定值k的直線與拋物線y2=2px（p>0）交于兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否為常數？
　　從這里不難看出，課堂反思如此和諧完美，力度強勁，設計不以答案為限，而重在揭示學生獲得答案的思維過程，抓住了最寶貴的訓練思維機遇，培養了學生良好的反思習慣。
　　在數學教學中，培養學生能力的核心乃是培養和發展學生的思維能力。加里寧指出：“數學是鍛煉思維的體操”。可見，學生思維能力是要通過數學教學活動去培養和發展的，而高效思維能力的培養則需通過高效的課堂才能得以實現。
　　參考文獻
　　[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標，北京：人民教育出版社，2003
　　[2] 李學紅.區域推進課堂“有效教學”改革的實踐.上海教育科研，2007（2）.
　　（責任編輯劉永慶）
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