基于HPM的數學教育研究

　　HPM（History and Pedagogy of Mathematics）意指數學史與數學教育之間的聯系，它作為一個學術領域的出現始于1972年。HPM研究的目標是通過數學歷史的運用，提高數學教育的水平。HPM關注的內容包括：數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、發生教學法、數學史與學生的困難、數學原始文本在教學中的應用等。[1]但是，作為一個研究領域，大家對HPM的功能與作用的認識顯得比較混亂，有些內容顯然偏離了HPM作為數學與數學教學中介的研究領域。實際上，作為數學走向數學教學的中介，HPM的功能在于通過數學史尋找數學教育的規律和經驗，把數學知識的歷史形態加工整理成教師和學生能夠方便使用的教育形態，使數學史為生動活潑的數學教學服務。[2]本文試以海倫公式為例，探討HPM的教育功能，旨在拋磚引玉，為HPM真正融入數學教育開辟思路。
　　一、HPM視域下的一題多解、一題多證及其教育價值
　　HPM視域下的一題多解、一題多證即是通過對歷史上所用各種數學思想方法進行比較分析，使學生了解不同文化背景中的數學思考方式，培養數學洞察力，啟發數學思想方法，提升數學思維能力，并可在社會歷史文化與數學思維的雙重熏陶下，獲得數學認知活動的文化意義，在數學教育中實踐多元文化關懷。以海倫公式為例，自古至今關于海倫公式的證明有許多方法，筆者已在《海倫公式證明之史海鉤沉》一文中給出了關于海倫公式的一系列的證明方法。[3]從HPM的角度來看，海倫公式的各種證明方法可帶給我們很多教學上的啟發和反思。
　　首先，給出海倫公式的各種證法，是為了豐富自身的教學內容知識，這也是數學史融入數學教學（HPM）的重要功能之一。試想若非在數學歷史文本中找到這些不同版本的證法，或許至今我們仍只知道海倫純幾何形式的證法，或是多數課本采用的代數化的余弦定理證法。通過分析各個版本證法的特色，可以讓教師在教學方法上有所比較，也才能取長補短。當然，在分析海倫公式各個證法的特色時，也不能忽視它們本身存在的局限性。當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我的“歷史詮釋”。
　　其次，學生最為熟悉的海倫公式證法非余弦定理莫屬，它是純粹的代數運算，而歷史上的證明方法大多都是幾何證法，這對習慣代數運算與解析幾何的學生來說，學習起來有一定的難度。但海倫公式所處理的是幾何圖形面積的計算，余弦定理的證法則是充分展現了符號代數的威力，其間所隱含之幾何與代數表征的連結，恰好是可以在數學教學中培養學生數學表征連結能力的極好范例。學生由此也可以知道，引入三角學的余弦定律，究竟替代了多少綜合幾何里的命題、方法與技巧。
　　再次，歷史上的海倫公式證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向。在教學中若以歷史文本為師，適時引入古人原始的想法，擷取前人的智慧，乃至于前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照。[4]HPM所追求的目標之一正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣。因此，數學文本中的任何地方，可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸。
　　最后，海倫公式又被稱為海倫——秦九韶公式，這是因為秦九韶獨立給出了與海倫公式等價的“三斜求積術”。通過海倫公式的中西比較可知，希臘人運用平面幾何知識證明海倫公式，而秦九韶只給出公式并代入求解具體問題。可見數學問題的展現離不開社會文化的歷史脈絡，也與民族特性相關。中國的數學與古希臘數學演繹的邏輯推理不同，因為中國數學家不拘一格地采用各種形式的推理方法，使中國數學成為一種從實際問題出發，經過分析提高而概括出一般原理、原則和方法，以求最終解決一人類問題的體系。針對一個己知三角形三邊長求其面積的問題，由于解題形式的不同，讓我們看到了在數學知識呈現的背后蘊藏了深刻的文化意涵，這又豈是純粹背誦海倫公式所能體會出的呢?
　　二、基于HPM的探究教學研究
　　基于HPM的探究教學是通過數學史的融入開展探究教學，再現數學知識被發現、被證明及其被推廣的過程。該過程對于學生發現問題，動手操作，表達與交流，尋找解決問題的途徑，體驗解決問題的過程，獲得知識、技能和形成正確態度的學習方式和學習過程具有重要作用，不僅可使學生體驗數學再創造的思維過程，而且還可培養學生的創新意識和科學精神。
　　1.問題的提出
　　問題：已知任一△ABC的三邊長a，