對(duì)一道測(cè)試題的錯(cuò)解剖析與拓展

　　圓錐曲線在高考中是必考的解答題，解題過(guò)程中往往會(huì)遇到大量的代數(shù)運(yùn)算，因此在平時(shí)的解題過(guò)程中，我們一般會(huì)結(jié)合圓錐曲線的定義和平面幾何性質(zhì)去解題，可以大大減少計(jì)算量，提高解題效率．這是好事，但如果對(duì)圖中的所有可能情形考慮不全，有時(shí)就會(huì)適得其反．下面以一道測(cè)試題為例，希望引起同學(xué)們的關(guān)注．
　　
　　 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO－MT與b－a的關(guān)系為（ ）
　　 A． MO-MT＞b－a
　　 B． MO－MT=b－a
　　 C． MO－MT＜b－a
　　 D． 不確定
　　
　　圖1
　　錯(cuò)解 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，連結(jié)OM和PF2，由M為線段FP的中點(diǎn)和O為兩焦點(diǎn)FF2的中點(diǎn)得MO=PF2 ． 由FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)得MT=MF-FT=PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT． 由雙曲線的定義和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，F(xiàn)T===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此題選B．
　　剖析 上面的思路是：由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義求解，這樣做確實(shí)很簡(jiǎn)單，幾乎沒(méi)有計(jì)算量． 這可能是許多高中數(shù)學(xué)教師的想法，也可能是命題人的意圖． 但是我們注意到這個(gè)選擇題中有答案D：不確定，所以我們自然會(huì)提出問(wèn)題：由給出的圖知線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)，那么一定在右側(cè)嗎？可不可以在左側(cè)？可不可以重合？結(jié)果又會(huì)怎樣呢？
　　 ①當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：上面已求得MO-MT=b-a.
　　 ②當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：
　　 MO=PF2不變，F(xiàn)T=b不變，發(fā)現(xiàn)MT=FT-MF=FT-PF變了，此時(shí)MO- MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF=PF2+2a，此時(shí)MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，無(wú)法確定和b-a的大小關(guān)系． 好像進(jìn)入了死胡同，但是當(dāng)我們回過(guò)來(lái)看一下此種情形時(shí)，MO=PF2，MT=b-PF，我們感覺(jué)要想利用雙曲線的定義，計(jì)算MO-MT肯定不好，最好計(jì)算MO+MT，此時(shí)MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此結(jié)果水落石處，顯然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．
　　 ③當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合時(shí)，如圖3所示：結(jié)果如何呢？
　　 我們可能會(huì)犯習(xí)慣性思維的錯(cuò)誤，認(rèn)為MO-MT＞b-a，果真如此嗎？我們來(lái)看一下，MO=OT=a，MT=0，此時(shí)MO-MT=a． 由M為線段FP的中點(diǎn)和O為FF2的中點(diǎn)得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此時(shí)MO-MT=b-a．
　　 綜上，此題選D．
　　點(diǎn)評(píng) 1. 由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義求解，這確實(shí)是一個(gè)好的解題思路，但容易漏掉后面兩種情形，特別是處理第2種情形時(shí)其思維跨度比較大．
　　 2. 因?yàn)檫@是一個(gè)選擇題，所以有另一種解法：
　　 看到MO-MT，易想到三角形MTO中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊，從而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（當(dāng)且僅當(dāng)M和T重合時(shí)取“=”）． 我們可以先看M和T重合時(shí)，易得b=2a，MO-MT=b-a；因?yàn)榇鸢窪為不確定，所以還得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而當(dāng)b＞2a時(shí)，b-a＞a，因?yàn)镸O－MT＜a，所以此時(shí)MO-MT＜b-a． 到此顯然選D．
　　拓展1 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO－MT的值是____．
　　 分析一 由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解．
　　 解法一 ①當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜邊MO＞直角邊MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此時(shí)a＜b＜2a）
　　 ②當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合時(shí)，上面已求得MO-MT=b-a.（b=2a）
　　 ③當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)時(shí)，由上面得到MO+MT=b-a，發(fā)現(xiàn)在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，從而MO-MT==． （由直角三角形中斜邊MO＞直角邊MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此時(shí)b＞2a）
　　 綜上：當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)，即b＞2a時(shí)，MO-MT=；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)，即a＜b＜2a時(shí)，MO-MT=b-a；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合，即b=2a時(shí)，MO-MT=b-a．
　　 分析二 在直角三角形MTO中，已知一直角邊TO=a，要求的是斜邊MO減去另一直角邊MT，只要求出其中一個(gè)，另一個(gè)由勾股定理求之． 求MO，就是求PF2，可在△PF2F中由余弦定理求解．
　　 解法二 在Rt△FTO中，cos∠TFO==． 在△PF2F中，設(shè)PF2=x，則PF=x+2a，F(xiàn)F2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化簡(jiǎn)得（b-a）x=a2+c2－2ab，將c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（顯然b-a>0，若b-a≤0，上述方程無(wú)解），故x==b－a+． MO=PF2=x=b－a+，在Rt△MTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b－a）－（b>2a），－（b－a）（a　　綜上，當(dāng)b＞2a時(shí)，MO-MT=；當(dāng)a＜b≤2a時(shí)，MO-MT=b-a．
　　 點(diǎn)評(píng) 解法一雖然簡(jiǎn)單，但容易漏掉其他情形且點(diǎn)M在左側(cè)時(shí)的處理方法很難想到；解法二雖然計(jì)算量相對(duì)大一點(diǎn)，但比較保險(xiǎn)、全面．另外由上面的兩種解法容易得到以下兩個(gè)命題．
　　拓展2 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO+MT與b－a的關(guān)系為（ ）
　　 A． MO+MT＞b－a
　　 B． MO+MT=b－a
　　 C． MO+MT＜b－a
　　 D． 不確定
　　 提示 參考上面測(cè)試題的兩種解法均可得答案D． 具體大小關(guān)系如下：當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合或在左側(cè)時(shí)：MO+MT=b-a；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)：MO+MT＞b-a．
　　拓展3 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO+MT的值是____．
　　 提示 參考上面拓展1的兩種解法均可得：當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)，即b＞2a時(shí)，MO+MT=b-a；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)，即a＜b＜2a時(shí)，MO+MT=；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合，即b=2a時(shí)，MO+MT=b-a．
　　 反思 在高考模擬題或預(yù)測(cè)題中，命題者確實(shí)給我們提供了不少考查思維能力的好題，如上面的測(cè)試題和拓展題． 對(duì)此，我們不能只局限于參考答案，做一做差不多就行了，而要提通過(guò)思維的創(chuàng)造將隱蔽的聯(lián)系公開(kāi)化，也就是多給自己一點(diǎn)時(shí)間去思考，從多個(gè)角度去分析問(wèn)題，多跟其他同學(xué)交流，多給自己一點(diǎn)時(shí)間去反思、總結(jié)，也許問(wèn)題就會(huì)解決得比較簡(jiǎn)潔、透徹和完美了．