立體幾何創(chuàng)新題

　　立體幾何歷來是高考改革的一塊試驗(yàn)田，隨著高考改革的不斷深入，獨(dú)具匠心的立體幾何試題層出不窮，常令人目不暇接、望“題”興嘆．為了讓莘莘學(xué)子摸清立體幾何創(chuàng)新題的命題規(guī)律，本刊試題研究組的老師們精選了5道別具一格的立幾試題．
　　
　　
　　 1． 如圖1，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱AA′⊥底面ABCD，AB=3，AA′=6，以D為圓心，DC′為半徑在側(cè)面BCC′B′上畫弧，當(dāng)半徑的端點(diǎn)完整地劃過C′E時(shí)，半徑掃過的軌跡形成的曲面面積為（ ）
　　 2． 如圖2，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長別為3a，4a，5a（a>0）． 用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是（ ）
　　 A． 0， 3． 如圖3，平面中點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，若設(shè)=x，=y，則有+=3． 試問空間中對(duì)任一經(jīng)過三棱錐P－ABC的重心G的平面分別與三條側(cè)棱交于A1，B1，C1，若設(shè)=x，=y，=z，則++=_______．
　　 4． 如圖4，在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1． 設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是三棱錐M－PAB、三棱錐M－PBC、三棱錐M－PCA的體積． 若f（M）=，x，y，且+≥8恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為_______．
　　 5． （1）如圖5，對(duì)于任一給定的四面體A1A2A3A4，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；
　　 （2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，若一個(gè)正四面體A1A2A3A4的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：Ai∈αi（i=1，2，3，4），求該正四面體A1A2A3A4的體積．
　　
　　
　　 1． 半徑掃過的軌跡形成的曲面為圓錐的一部分，圓錐底面是以C為圓心，CC′為半徑的圓，圓錐半徑DC′=3，所求曲面所對(duì)弧長為×6=，所以其面積為××3=π，選A．
　　 2． 先考察拼成的三棱柱（如圖6）全面積：S1=2××4a×3a+（3a+4a+5a）×=12a2+48，再考察拼成的四棱柱（如圖7）全面積．
　　
　　圖7
　　 （1）若AC=5a，AB=4a，BC=3a，則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+ 2（3a+4a）×=24a2+28；
　　 （2）若AC=4a，AB=3a，BC=5a，則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+ 2（3a+5a）×=24a2+32；
　　 （3）若AC=3a，AB=5a，BC=4a，則該四棱柱的全面積為S2=2×4a×3a+2（4a+5a）×=24a2+36． 又在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，從而知24a2+28<12a2+48，所以0　　 3． 點(diǎn)G是三棱錐P－ABC的重心，知+++=0，得－+（－）+（－）+（－）=0，即=（++）．又G，A，B，C四點(diǎn)共面（P為平面ABC外一點(diǎn)），得=α+β+γ（且α+β+γ=1），于是=xα+yβ+zγ=（++）．
　　
　　圖8
　　 得α+β+γ=1，xα=yβ=zγ=， 有++=4．
　　 4． 由題意得+x+y=××3×2×1=1，所以x+y=，+=+?2（x+y）=21+a++≥21+a+2=2（+1）2，即2（+1）2≥8，解得a≥1，故amin=1．
　　 5． （1）取A1A4的三等分點(diǎn)P2，P3，A1A3的中點(diǎn)M，A2A4中點(diǎn)N，過三點(diǎn)A2，P2，M作平面α2，過三點(diǎn)A3，P3，N作平面α3，因A2P2∥NP3，A3P3∥MP2，所以平面α2∥平面α3，再過點(diǎn)A1，A4分別作平面α1，α4與平面α2平行，那么α1，α2，α3，α4依次互相平行，由線段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的線段相等知，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故平面α1，α2，α3，α4為所求平面．
　　
　　圖9
　　 （2）如圖9，現(xiàn)將此正四面體A1A2A3A4置于一個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，（或者說，在正四體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角正三棱錐，得到一個(gè)正方體），E1，F(xiàn)1分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，EE1D1D和BB1F1F是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則四面體A1A2A3A4即為滿足條件的正四面體. 圖10是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長為a，若A1M=MN=1，則有A1E1=，D1E1==． 根據(jù)A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得a=． 于是正四面體的棱長d=a=，因所求體積是一個(gè)棱長為a的正方體切去四個(gè)直角正三棱錐的體積，故其體積V=a3－4×a3=a3=．