數形結合思想(下)

　　 數形結合思想在數學中的應用主要體現在兩個方面，一是以數解形，這類問題需要從圖形中充分挖掘信息，并且將這些信息反應到代數式中；二是以形助數，這是數形結合應用的主體，借助圖形的直觀性將抽象的代數問題具體化． 下面分別舉例說明：
　　
　　
　　 已知函數f（x）=4xx－1．給出如下結論：
　　 ①f（x）是R上的單調遞增函數；
　　 ②對于任意x∈R， f（x）+f（－x）= －2恒成立；
　　 ③函數y=f（x）－2x+1恰有三個零點x1，x2，x3，且x1+x2+x3=0．
　　 其中正確結論的個數為（ ）
　　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
　　 解析 逐一判斷． 由題意可知f（x）=4xx－1=4x2－1，x≥0，－4x2－1，x<0，作出圖象如圖1所示，由圖象可知f（x）是R上的單調遞增函數，故①正確；圖象關于點（0，－1）對稱，即對于任意x∈R，f（x）+f（－x）=－2恒成立，故②正確；因為函數y=f（x）與y=2x－1圖象有3個交點，一個是（0，－1），另外兩個關于點（0，－1）對稱，所以函數y=f（x）－2x+1恰有三個零點x1，x2，x3，且x1+x2+x3=0正確，即③正確，所以正確結論的序號是①②③，選D．
　　 點評 這道題若用代數的方法求解，則既費時，又費力，且做對的可能性很小，但如果借助圖象，使問題變得更加直觀、易懂，自然解決起來也更加方便．
　　 已知函數f（x）=sinπx，0≤x≤1，log2010x，x>1，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（ ）
　　 A． （1，2010）B． （1，2011）
　　 C． （2，2011）D． ［2，2011］
　　 解析 本題中分段函數對應的圖象如圖2所示，因為f（a）=f（b）=f（c），且a，b，c互不相等，所以直線y=k與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，則k∈（0，1）． 與函數y=f（x）的圖象的三個不同的交點橫坐標從小到大記為a，b，c，則由圖象易知a，b關于直線x=對稱，即a+b=1，且c∈（1，2010），所以a+b+c∈（2，2011），故選C．
　　 點評 如果上面那道題不利用圖形，劈開繁瑣這一層面外，還能夠解的話，那么這道題如果不利用圖形，你肯定無從求解，進一步體現了這種“以形助數”方法的無可替代的地位．
　　
　　
　　 函數中的不少問題常使我們一頭霧水，摸不著頭緒，考試往往也是束手無策，無從下手，這時如果能夠畫出其圖象的大致形狀，就可以給我們“柳暗花明又一村”的感覺．
　　 若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈［0，1］時， f（x）=x，則函數y=f（x）－logx的零點個數為（ ）
　　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
　　 解析 偶函數f（x）的周期為2，且x∈［0，1］時， f（x）=x，作出函數f（x）的部分圖象如圖3所示，而函數y=f（x）－logx的零點即為函數y=f（x）與y=logx的圖象的交點橫坐標，由圖象可知，交點有6個，故函數y=f（x）－logx的零點有6個，故選D．
　　 點評 這道題中函數y=f（x）在R上的解析式沒有給出，因此函數y=f（x）－logx的零點用代數方法無法求解，就算你有能耐求出函數f（x）在R上的解析式，那也會是一個浩大的工程． 對于這類題，“以形助數”幾乎是唯一的方法．
　　 已知函數f（x）=2－x－1，x≤0，f（x－1），x>0，若方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是________．
　　
　　圖4
　　 解析 作出函數y=f（x）和y=x+a的圖象如圖4所示，由圖象可知a<1時，兩圖象有兩個交點，此時方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根，所以所求實數a的取值范圍是（－∞，1）．
　　 點評 因為函數f（x）的解析式未知，所以從代數的角度思考顯然行不通，如果從圖形的角度理解，將代數問題（方程的根）轉化為幾何問題（兩個函數圖象的交點個數），那么問題便得以順利解決．
　　
　　
　　 若關于x的不等式x2<2－x－a至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是________．
　　
　　圖5
　　 解析 不等式x2<2－x－a至少有一個負數解，即x－a<2－x2有負數解，在同一坐標系中作出函數y=x－a和y=2－x2的圖象，如圖5所示． 當y=x－a與y=2－x2相切時，求得a=－，將y=x－a右移到圖中位置時，不等式剛好無負數解，此時a=2，所以實數a的取值范圍是－，2．
　　 點評 很多含有字母的不等式有解、恒成立等問題，從代數的角度求解，過程往往煩瑣而復雜，這時若能夠靈活應用數形結合思想，不僅使問題變得直觀，而且過程更簡便．
　　 若實數x，y滿足不等式組x+3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實數m等于（ ）
　　 A． －2?搖?搖?搖?搖 B． －1?搖?搖?搖?搖C． 1?搖?搖?搖?搖?搖D． 2
　　 解析 這是個線性規劃問題，常規的方法是通過畫出約束條件所表示的幾何圖形來解決，但是約束條件x－my+1≥0中含有字母m，這就使得其圖象不能準確地被畫出，該怎么辦呢？仔細觀察后我們發現，直線x－my+1=0必過（－1，0），但是仍無法確定此直線的傾斜程度，因此確定直線的傾斜程度就成為此題的突破口． 不妨設z=x+y，則y=－x+z，結合圖象知，當直線x－my+1=0繞著（－1，0）旋轉的時候，只有斜率∈（0，2）時，才能讓函數y=－x+z的截距能取到最大值，如圖6所示． 我們發現當目標函數y=－x+z經過點A時，z取到最大值9． 聯立直線y=－x+9，2x－y－3=0，解得A（4，5），代入x－my+1=0中，得m=1，選C．
　　
　　圖6
　　 點評 線性規劃是不等式的重要內容，也是以形助數在不等式應用中的重要體現．
　　 數形結合的思想方法應用相當廣泛，涉及高中數學的各個部分，尤其是以形助數思想在集合、函數、方程和不等式問題中，以其直觀、簡便而成為使用頻率最高的數學思想之一． 我們在解決數學問題時，要做到胸中有圖，見數想圖，以此開拓自己的思維視野．