平面幾何圖形滾動的奧秘

　　 近年來高考中出現了平面圖形的滾動問題，試題難度大，得分率低．問題通常包括求滾動軌跡，求圍成圖形的面積或者周長等方面；又涉及在直線上滾動、在平面圖形外部滾動和在平面圖形內部滾動等類別．求解這類問題的關鍵點是弄清楚滾動的軌跡，而同學們常常因畫不出滾動的軌跡而無從下手，只能憑空猜測． 下面筆者以幾個例子說明求滾動軌跡的方法和技巧，與讀者共勉．
　　
　　 在直線上滾動
　　 如圖1放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設定點P（x，y）的軌跡方程為y=f（x），則f（x）的最小正周期為_______；y=f（x）在其兩個相鄰點間的圖象與x軸所圍成的面積為________．
　　 說明 “正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動． 沿x軸正方向滾動是指先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續，類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．
　　 破解 無論正方形沿著x軸正方向還是負方向滾動，再次使點P接觸x軸的路程由上圖可知． 以向x軸正方向滾動為例，滾動過程分為三個階段．
　　 第一階段（①→②）：正方形與x軸接觸的點為A點，此時點P的運動軌跡為以A點為圓心，AP=1為半徑的圓弧；
　　 第二階段（②→③）：正方形與x軸接觸的點為B點，此時點P的運動軌跡為以B點為圓心，BP=為半徑的圓弧；
　　 第三階段（③→④）：正方形與x軸接觸的點為C點，此時點P的運動軌跡為以C點為圓心，CP=1為半徑的圓弧．
　　 所以y=f（x）的最小正周期為4，其與x軸圍成的圖形如圖2所示，其面積為：S=π×12+π×（）2+2××1×1=π+1．
　　 如圖3，一個“凸輪”放置于直角坐標系x軸的上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中點M在y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成． 今使“凸輪”沿x軸正向滾動過程中，“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為（ ）
　　 破解 設正三角形為△ABC，初始狀態為凸輪弧BC中點與x軸相切，由初始狀態到①過程中，凸輪的最高點始終為A點，由于A到切點的距離即為A點的高度，這個距離也為半徑，所以最高點的高度不變；而中心點M由初始的最低狀態逐漸升高；在由①→②的過程中，凸輪上與x軸接觸的為點C，這時最高點不再是點A，而是弧BA上的某點，因為點C到弧BA上任意一點的距離都為半徑不變，所以這時最高點的高度也不變，到達狀態②時，三角形中心點M的高度也達到最大；由凸輪的對稱性，狀態③也可以看成是初始狀態，所以由初始狀態→①→②→③即為軌跡的一個周期，完整的軌跡圖如圖所示，故本題選A．
　　 反思 平面圖形在直線上滾動一般有圖形頂點與直線點接觸（如例1）和曲線與直線相切接觸兩類（如例2）． 若是前者，圖形上某點的滾動軌跡一般為以接觸點為圓心，該點與接觸點之間距離為半徑的圓弧；若是后者，其軌跡要視該點與切點之間的距離變化情況而定． 比如例2中M點與切點之間的距離在發生周期性的變化，故其軌跡為周期性的曲線． 此外，一般幾何圖形滾動一圈即為一個周期（狀態和初始狀態相同），確定一周滾過的距離即可確定軌跡的周期．
　　
　　 在外部滾動
　　 一個半徑為1的圓在一個邊長為2的正三角形外沿著三條邊滾動（如圖5所示），圓的圓心O的軌跡形成的封閉圖形的面積為____，周長為_____．
　　 破解 當圓在三條邊上滾動時，形成的軌跡是平行于邊的線段，當圓運動到頂點時，頂點與圓接觸，此時圓心的軌跡是以頂點為圓心，1為半徑的圓心角θ=180°－60°=120°的圓弧（三分之一圓周），所以其軌跡圖如圖6所示，則其面積S=×a×a+3×a×r+3××π×r2=π+6+，周長C=3×a+3××（2πr）=2π+6．
　　 反思 幾何圖形在多邊形外部滾動時，在邊上的滾動可以理解為題型一中的在直線上滾動，而當通過多邊形頂點時（轉角處），和幾何圖形接觸的是多邊形的頂點，此時圖形上某點的滾動軌跡是以頂點為圓心，該點到頂點之間的距離為半徑的圓弧，其圓心角大小為多邊形在該點內角的補角，而圓繞任意多邊形滾動形成的軌跡的所有圓弧的圓心角度數之和為360°，即一個圓周．
　　
　　 在內部滾動
　　 如圖7，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點． 那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是（ ）
　　 破解 設大圓的圓心為O，小圓的圓心為O′，以O為坐標原點建立如圖8所示的直角坐標系，由題意可知，小圓與大圓相內切，且小圓總過大圓的圓心O． 當小圓圓心從初始狀態運動到第三象限時（如圖8），設此時小圓與x軸的交點為M′，小圓與大圓內切大圓于點A，設∠AOM為θ，則∠OM′O′=θ，從而，∠AO′M′=2θ． 此時，大圓圓弧MA的弧長為θ，而小圓圓弧M′A的弧長為×2θ=θ，所以，小圓在這個滾動過程中，大圓走過的弧長MA與小圓弧長M′A相等，故此時M′點即為M點． 當小圓圓心運動到其他象限時，用同樣的方法可以得到以下結論：M點只在x軸上移動；同理可以知道N點只在y軸上移動，軌跡圖如圖所示，故本題選A．
　　
　　圖8
　　 反思 在內部滾動通常有在多邊形內部滾動和在圓或橢圓中滾動兩種情形． 在多邊形中滾動要搞清楚是什么點繞什么點滾動，軌跡為直線還是以某點為圓心的圓弧；在圓內滾動要善于抓住圖形中的關鍵點，如上例中的O點，它是大圓的圓心同時也是小圓在滾動過程中始終通過的點，從而得到弧長AM與弧長AM′相等的結論．
　　 總之，要求滾動點的軌跡，關鍵點是要根據不同階段的滾動性質變化（如滾動接觸點的變化，滾動由點接觸變為相切接觸等）來確定軌跡為直線、圓弧，還是其他曲線． 這要求我們在解題中不斷總結，并且能夠劃分滾動階段，分清滾動性質，做到這些，問題便可迎刃而解．