空間距離

　　空間距離作為立體幾何中的重要內容，是高考的重點考查內容之一．題目為中等難度，以解答題為主，求解方法靈活，解題時要注意計算與證明相結合．
　　
　　
　　 １． 空間距離的重點
　　 ①理解點到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面等距離的概念．
　　 ②會用求距離的常用方法，即直接法、轉化法、向量法．掌握兩異面直線間的距離和點到平面間的距離的求法．
　　 ③培養動手能力、計算表達能力、空間想象能力．
　　 ２． 空間距離的難點
　　 ①直接法求解中的“作”的過程．
　　 ②空間向量的投影的理解、基底的選取、法向量的求解，以及數形結合思想的靈活運用．
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　　 １. 點到平面的距離的求法
　　 ①定義法，即過點直接作平面的垂線，已知點與垂足之間的距離．
　　 ②向量法，即為平面的斜線的方向向量在平面法向量上的射影長．
　　 ③等積法，即當點到平面的距離不易求，可先構建一個合適的三棱錐，通過等體積變換，把點到平面間的距離問題轉化為求棱錐的高的問題．
　　 ２. 異面直線之間的距離求法
　　 ①定義法，即求公垂線段的長．
　　 ②向量法，即分別在兩異面直線上各取一點A和B，連結AB，則向量在公共法向量n上的射影長．
　　 ３． 其他距離的求法
　　 轉化法． 距離問題包括兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、異面直線間的距離以及其他可以轉化成以上幾類距離的問題，如線面、面面的距離可以轉化為兩異面直線間的距離或點到平面間的距離．
　　
　　
　　 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線BD與B1C間的距離．
　　
　　 圖1 圖2
　　 思索 異面直線距離問題為空間距離的典型問題，通常考慮兩類策略：①定義法，即作出公垂線段，求其長度；②向量法，建立空間直角坐標系，求兩異面直線的公垂線段的一個方向向量．
　　 破解 法1：連結AC交于BD的中點O，取CC1的中點M，連結BM交B1C于E，連結AC1，則OM∥AC1，過E作EF∥OM，交OB于F，則EF∥AC1． 又斜線AC1的射影為AC，BD⊥AC，則BD⊥AC1，EF⊥BD，同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C，所以EF為BD與B1C的公垂線段． 因△MEC∽△BEB1，則==，BM=，BE=MB=．又EF∥OM，==，則BF=OB=，故EF==．
　　 法2：以，，為單位正交基底，建立空間直角坐標系D－xyz，則=（1，1，0），=（－1，0，－1）． 設BD與B1C的公垂向量n=（x，y，z），則n?=0，n?=0，x+y=0，－x－z=0，取x=1，則n=（1，－1，－1），又=（1，0，0），故d===．
　　 點評 異面直線距離問題，一方面采用幾何策略，通過“一作、二證、三計算”解決；另一方面采用向量策略把幾何推理過程轉化為代數計算． 其中應注意向量在解決距離問題中的特殊功效，本題中向量法顯得簡單快捷．
　　 如圖3，在四棱錐S－ABCD中，其中SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=2，求點A到平面SCD的距離．
　　 思索 求點到面的距離，直接法是過已知點作平面的垂線段，也可采用間接法，即利用等積法，還可根據條件特征建立空間直角坐標系，運用空間向量求解．
　　 破解 法1：點A到平面SCD的距離為d，因VS－ACD=VA－SCD，即S△ACD?SA=S△SCD?d，則d=． 在△ACD中，由題意得AC=，AD=2，CD=，則AD2=AC2+CD2，則S△ACD=AC?CD=1． 在△SCD中，由題意得SD=，SC=，CD=，則SD2=SC2+CD2，則S△SCD=SC?CD=． 故d==．
　　 法2：以，，為正交基底，建立空間直角坐標系A－xyz，則得A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），可得=（1，1，－1），=（2，0，－1）． 設n=（x，y，z）是平面SCD的一個法向量，則n?=0，n?=0，取x=1，得n=（1，1，2），則點A到平面SCD的距離d為在向量n上的投影的絕對值，即d==．
　　 點評 向量法求點到平面的距離，不必作垂線段，只需求出平面的法向量． 等積法也具有避免復雜作圖的優勢，但需建立在底面三角形的面積及棱錐體積易求的前提下．
　　 在棱長為2的正方體AC1中，E是AA1的中點，求BD到平面EB1D1的距離．
　　 思索 求直線到平面的距離時，一般要在直線上找一個特殊點，轉化為求這個特殊點到平面的距離． 當然，也可轉化為異面直線之間的距離．
　　 破解 法1：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一點到平面EB1D1的距離都為所求，不妨取BD中點O到平面EB1D1的距離． 因B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面A1ACC1，又B1D1?奐平面EB1D1，所以平面A1ACC1⊥平面EB1D1，兩個平面的交線為O1E．作OF⊥O1E，則OF⊥平面EB1D1，即OF就是點O到平面EB1D1的距離． 因S=O1O?AO=OF?O1E，又O1O=2，AO=，O1E=，故OF=，即BD到平面EB1D1的距離為．
　　 法2：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一點到平面EB1D1的距離都為所求，不妨取B點到平面EB1D1的距離，設點B到平面EB1D1的距離為h，又V=V，由于S=×2×=，S=×2×2=2，故h==．
　　 法3：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一點到平面EB1D1的距離都為所求，即也為D點到平面EB1D1的距離，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標，則=（2，0，－1），=（2，2，0）． 設n=（x，y，z）是平面EB1D1的一個法向量，則n?=0，n?=0，取x=1，則y=－1，z=2，即n=（1，－1，2），則點D到平面EB1D1的距離為=（2，0，1）在向量n上的投影的絕對值，即d==．
　　 點評 如果我們會求點到平面與異面直線間的距離，那么直線到平面、平面到平面間的距離都可轉化為這兩類基本問題來求解．
　　
　　
　　 1． 首先要理解點到平面的距離、異面直線的距離以及線面距離及面面距離的概念，而后結合題目總結求空間距離的常用方法．
　　 2． 求空間距離的方法可分為直接法、等積法、轉化法、向量法． 直接法是根據有關距離的定義，具體步驟簡記為“一作、二證、三計算”． 這里不能忽視第二步的證明． 等積法通過對三棱錐從不同角度去思考，選擇不同的頂點和底面其體積是相等的，從而將求點到平面的距離問題轉化為求共棱錐的高的問題．轉化法即各種距離之間可以相互轉化，探求某種距離遇到困惑時，可以不斷地進行點面、線面、面面距離之間的轉化，直到求出為止． 向量法是把距離求解轉化為向量運算，關鍵是基底的選擇與法向量的求解．
　　 3． 對異面直線的距離只要求掌握作出公垂線段或用向量表示的情況，點面距離仍作為空間距離的重點題型． 學立體幾何應當會“兩條腿走路”：既能用傳統法求解，也能用新增的向量法求解． 其中，等積法與向量法可避免復雜的幾何作圖，求解時可優先考慮．