空間角

　　求空間角是立體幾何中經(jīng)常考查的問題，空間角指的是兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角及二面角． 下面對求空間角的方法技巧作深度剖析，以期對同學們的學習有所幫助．
　　
　　 重點掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角的概念及求法，難點是在不同的問題情境中如何把空間角的問題轉(zhuǎn)化為平面角處理．若用向量法求解空間角，難點是若載體中沒有明顯的兩兩垂直關(guān)系時，如何建立空間直角坐標系．
　　
　　
　　 一、綜合法
　　 1． 異面直線所成的角：取值范圍是0，．
　　 （1）平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”作另一條直線的平行線（常通過中位線定理及平行四邊形的對邊達到目的）．
　　 （2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系．
　　 2． 直線與平面所成的角：取值范圍是0，．
　　 線面角是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂直線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影，通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵．
　　 3． 二面角： 取值范圍是［0，π］．
　　 二面角的大小是用它的平面角來度量的，如何找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下幾種方法：①定義法，直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角．
　　 ②三垂線法，已知二面角其中一個面內(nèi)到另一個面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角．
　　 注：對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后選用上述方法．
　　 總之，空間角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角計算．
　　 二、向量法
　　 利用向量法求空間角，其操作只須按步驟進行．
　　 1． 異面直線所成的角：設a，b分別為兩條異面直線的方向向量，兩條異面直線所成的角為θ，則利用公式cosθ=cos〈a，b〉=來計算．
　　 2． 直線與平面所成的角：設直線l與平面α所成的角為θ，PC?奐l，C∈α，n為平面α的法向量，則由sinθ=cos〈，n〉=求之．
　　 3． 二面角：n1，n2分別為二面角的兩個半平面的法向量，二面角的大小轉(zhuǎn)化為兩個法向量的夾角或它的補角；可由cosθ=cos〈n1，n2〉=求得θ值，再觀察二面角是銳角還是鈍角．
　　
　　
　　 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1． 試在線段AC上確定一點P，使得PF與CD所成的角是60°．
　　 思索 根據(jù)試題特點，建立空間直角坐標系，把問題轉(zhuǎn)化為方程求解．
　　 破解 如圖1，建立空間直角坐標系C－xyz，則=（，0，0），F(xiàn)（，，1）． 設P（t，t，0）（0≤t≤），得=（－t，－t，1）． 又PF和CD所成的角是60°，cos60°=，解得t=或t=（舍去），即點P是AC的中點．
　　 點評 采用傳統(tǒng)的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理． 這里運用向量法，沒有了這些手續(xù)，顯得便當快捷．
　　 如圖2，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．
　　 （1）證明：SD⊥平面SAB；
　　 （2）求AB與平面SBC所成的角的大小．
　　 思索 求直線和平面所成角有綜合法和向量法，綜合法一般要 “找射影，兩足相連”． 由于平面的一條斜線在這個平面的射影只有一條，所以關(guān)鍵在于尋該斜線在面上的射影． 向量法關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼担?br/>　　 破解 法1：（1）見《線面平行、垂直的判定與性質(zhì)》一文．
　　 （2）由《線面平行、垂直的判定與性質(zhì)》一文知AB⊥平面SDE，平面ABCD⊥平面SDE． 作SF⊥DE，垂足為F，則SF⊥平面ABCD，SF＝＝． 作FG⊥BC，垂足為G，則FG＝DC＝1． 連結(jié)SG，則SG⊥BC． 又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG． 作FH⊥SG，H為垂足，則FH⊥平面SBC． FH＝＝，即F到平面SBC的距離為． 由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距離d也為． 設AB與平面SBC所成的角為α，則sinα＝＝，α＝arcsin．
　　 法2：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系C－xyz． 設D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）． 又設S（x，y，z），則x>0，y>0，z>0．
　　 （1）略．
　　 （2）由《線面平行、垂直的判定與性質(zhì)》一文知S1，，． 設平面SBC的法向量a＝（m，n，p），則a⊥，a⊥，a?＝0，a?＝0． 又＝1，-，，＝（0，2，0），故m-n+p=0，2n=0.取p＝2得a＝（－，0，2）． 又＝（－2，0，0），所以cos〈，a〉==．故所求角為arcsin．
　　 點評 直線與平面所成的角要“抓住”直線在平面內(nèi)的射影，然后在直角三角形內(nèi)求得；利用向量求線面角的關(guān)鍵在于：找到平面的一個法向量，法向量與直線所在的向量夾角的互余的角，即為所求的角．
　　 如圖4，在錐體P－ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．求二面角P－AD－B的余弦值．
　　 思索 求二面角的方法很多，概括起來有兩類，一類是作平面角，一類是不作平面角． 作平面角又有直接作和間接作兩種，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，一般建系用法向量求．
　　 破解 法1：設AD中點為G，連結(jié)PG，BG，BD． 因PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD＝1，∠DAB＝60°，有△ABD為等邊三角形，因此BG⊥AD，所以∠PGB為二面角P－AD－B的平面角．
　　 在Rt△PAG中，PG2＝PA2－AG2＝，在Rt△ABG中，BG＝AB?sin60°＝，所以cos∠PGB＝＝＝－．
　　 法2：設AD中點為G，因為PA＝PD，所以PG⊥AD，又AB＝AD，∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形，因此，BG⊥AD，從而AD⊥平面PBG． 延長BG到O且使PO⊥OB，又PO?奐平面PBG，所以PO⊥AD，又AD∩OB＝G，所以PO⊥平面ABCD．
　　 以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為x軸、z軸，平行于AD的直線為y軸，建立空間直角坐標系．
　　 設P（0，0，m），G（n，0，0），則An，-，0，Dn，，0，Bn+，0，0．
　　
　　圖5
　　 因為＝n，-，-m，＝n+，0，-m，所以＝，＝2，解得m＝1，n＝． 取平面ABD的法向量n1＝（0，0，－1），設平面PAD的法向量n2＝（a，b，c），?n2＝0，?n2＝0，取n2＝1，0，，所以cos〈n1，n2〉＝ －，即所求二面角的余弦值為－．
　　 點評 利用向量法求二面角的大小，關(guān)鍵是求出兩平面的法向量．求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量；②利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量數(shù)量積為零列方程組求．
　　
　　 空間角的復習要注意下面兩點：
　　 1. 正確領會概念，注意角的取值范圍；
　　 2.?搖綜合法求角關(guān)注平面幾何知識的運用，向量法求角關(guān)注恰當建立坐標系．
　　 求空間角方法可總結(jié)為：
　　 線線角，用平移，妙選頂點，
　　 線面角，作射影，二足相連．
　　 二面角，求法多，空間余弦，
　　 用定義，三垂線，射影垂面．
　　 熟化歸，解三角，算準結(jié)果，
　　 作證求，三環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣．