線面平行、垂直的判定與性質

　　線面平行、垂直的判定與性質，一直是高考重點考查的對象，其解題方法一般有兩種以上，并且都能用空間向量求解． 在空間元素位置關系的判斷與證明中，通常利用線線、線面、面面的平行（垂直）的性質或判定定理，將線線、線面、面面的平行（垂直）相互轉換．
　　
　　
　　 １． 線面平行、垂直的判定與性質的重點
　　 熟練掌握兩類相互轉化關系，平行轉化：線線平行?圯線面平行，線面平行?圯線線平行；垂直轉化：線線垂直?圯線面垂直，線面垂直?圯線線垂直．
　　 ２． 線面平行、垂直的判定與性質的難點
　　 ①直線與平面平行、垂直的判定與性質定理的交替使用．
　　 ②空間向量的引入，利用向量解題的關鍵是建立適當的空間直角坐標系及寫出有關點的坐標，將幾何問題轉化為代數問題．
　　
　　
　　 1． 傳統法證明線面平行、垂直
　　 證明線面平行，依據直線和平面平行的判定定理，找“平面內的一條線”與已知直線平行；證明線面垂直，依據線面垂直的判定定理，找到所需的“平面內兩條相交直線”． 而有時證明線線平行、垂直時，又轉化為證明線面平行、垂直，如此反復，直到證得結論．
　　 2． 向量法證明線面平行、垂直
　　 （1）證明線面平行
　　 ◆證明直線的方向向量與平面內一直線的方向向量平行．
　　 ◆證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
　　 （2）證明線面垂直
　　 ◆若要證直線l與平面α垂直，只要在α內找到兩個不共線向量a，b，在l上取向量p，證得p?a=0且p?b=0即可．
　　 ◆證明直線的方向向量與平面的法向量平行．
　　
　　
　　 如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點． 證明：EF∥平面SAD．
　　
　　 圖1 圖2
　　 思索 立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法． 幾何法：證明EF與平面SAD內的某條線平行；向量法：利用向量平行轉化為兩直線平行，從而線面平行．
　　 破解 法1：作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點． 連結AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG為平行四邊形． EF∥AG，又AG?奐平面SAD，EF?埭平面SAD． 所以EF∥平面SAD．
　　 法2：如圖2，建立空間直角坐標系D－xyz． 設A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，． 取SD的中點G0，0，，則=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奐平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD． 另解，=（0，a，0）顯然為平面SAD的一條法向量，而?=0，所以EF∥平面SAD．
　　 點評 兩種方法各有優缺點，在向量方法中注意動點的設法，在傳統法中注意用分析法尋找思路．
　　 如圖2，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． 證明：SD⊥平面SAB．
　　 思索 幾何法：只需要證明SD垂直于平面中的兩條相交直線；向量法：利用向量的數量積為零證明線線垂直，從而證得線面垂直．
　　
　　 圖4 圖5
　　 破解 法1：取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，連結SE，則SE⊥AB，SE=． 又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE為直角． 由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD． SD與兩條相交直線AB，SE都垂直，所以SD⊥平面SAB．?搖
　　 法2：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系C-xyz． 設D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）． 又設S（x，y，z），則x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）． 由=得=，故x=1． 由=1得y2+z2=1． 又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=． 于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，?=0，?=0．故DS⊥AD，DS⊥BS，又AS∩BS=S，所以SD⊥平面SAB．
　　 點評 立體幾何的解答通常都能用兩種方法解決，盡管試題的命制載體可能趨向于不規則幾何體，但仍以“方便建系”為原則． 用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：（1）用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯系，從而把立體幾何問題轉化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題（進行向量運算）；（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義（回歸為幾何問題）．?搖
　　 如圖6，△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否在線段BD上找到一點F，使AF⊥平面BDE？
　　 思索 探究問題的設問方式可以先假設結論成立，然后進一步分析研究需要滿足什么條件，從而確定它的存在與否；也可假設滿足某個條件，從而推出結論成立來說明它的存在性．
　　 破解 法1：取BD中點F，AB中點G，連EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AF⊥DB． 因為AD⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC． 因為EC⊥平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CE⊥CG，故四邊形EFGC為矩形． 因為△ABC是正三角形，所以GC⊥AB，所以GC⊥平面ABD，GC⊥AF，所以EF⊥AF，又△ABD為等腰直角三角形，所以AF⊥DB，所以AF⊥平面BDE，結論成立．
　　 法2：建立如圖7所示的坐標系，則有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）． 令DF=x?DB，則=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）． 若AF⊥平面BDE，則?=0，?=0，故x=，此時F為BD中點．
　　 點評 本題采用一題兩法的設計，既重視傳統解法，也彰顯向量解法的魅力．
　　
　　
　　 高考重在考查數學中普遍運用的常規方法，側重通性通法，適當淡化技巧；不要為解題而解題，要學會舉一反三；由一題帶動多題，要從不同角度思考問題，當不滿足已有的解法時，從其他角度考慮，這種做法對解決難題尤其有好處． 解題時，弄清各概念之間的包含關系，理清定理的來龍去脈，從條件、結論和使用范圍上去比較容易混淆的各個定理，從內涵和外延上比較容易混淆的各個概念，注重化歸、轉化思想，掌握常見的化歸轉化方法，如：立幾問題向平面問題轉化，符號語言、文字語言、圖形語言的相互轉化等；注重模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地解決問題． 要把握常見圖形及常見題型，關注新題型的考查，比如：存在性問題、與代數結合的最值問題等等． 對于一些特殊的技巧要能理解并靈活運用，比如求線面角時，可能轉化為斜線段外端點到平面的距離與斜線段的長度的比得線面角的正弦值；距離問題可以用等體積法轉化，用這種方法能簡化作圖、證明與計算的過程．