空間幾何體的表面積和體積

　　空間幾何體的表面積、體積是高考中?？嫉囊粋€重要知識點，題型大多為解答題中的一個步驟，或者一個填空、選擇題，主要考查棱柱和棱錐的表面積、體積．
　　
　　
　　 １. 球、柱、錐、臺的側面積和體積的重點
　　 ①了解球、柱、錐、臺的側面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）；
　　 ②能應用球、柱、錐、臺的側面積和體積公式解決相關問題．
　　 ２. 球、柱、錐、臺的側面積和體積的難點
　　 近些年來在高考中不僅有直接求球、柱、錐、臺的側面積和體積的問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關系問題，更有與其他知識交匯的創新題型． 即使考查空間線面的位置關系問題，也常以幾何體為依托，因而我們要熟練掌握球、柱、錐、臺的側面積和體積的求積公式． 同時也要學會運用等價轉化思想，把組合體求積問題轉化為基本幾何體的求積問題，把立體問題轉化為平面問題求解，運用“割補法”等求解．
　　
　　
　　 1. 直接求球、柱、錐、臺的側面積和體積問題
　　 當題目要求求解幾何體的面積或體積時，只需直接套用公式即可求解，必要時應考慮采用“等積法”進行轉化． （見例1）
　　 2. 已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關系問題
　　 當題目給出幾何體的面積或體積時，我們可以先運用面積或體積公式求解出幾何體的某些元素未知的量，然后根據這些量的關系，求解元素間的空間位置關系． （見例2）
　　 3. 與三視圖交匯的問題
　　 在求解與三視圖交匯的問題時，應先將三視圖還原為直觀圖，然后把三視圖中的條件轉化到直觀圖中，運用表面積和體積公式進行求解． （見例3）
　　 4. 與幾何概率交匯的問題
　　 在求解與幾何概率交匯的問題時，應先確定所求的概率是哪兩部分面積或體積的比例，然后分別求出所需的面積與體積． （見例4）
　　
　　
　　 如圖1，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC∥AD，BC=AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是邊長為2的等邊三角形，求三棱錐A－PBD的體積．
　　 思索 求三棱錐A－PBD的體積時，若把△PBD視為底面，則難于作出高，所以可以采用等積法進行轉化，VA－PBD=VP－ABD，把△ABD視為底面（可求），則DC的中點為E與P點的連線PE即為高（可求），那么三棱錐A－PBD的體積即可求．
　　 破解 設線段DC的中點為E，連結PE． 因為△PCD是等邊三角形，所以PE⊥DC，且PE=． 又因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所有PE⊥平面ABCD，所以VA－PBD=VP－ABD=?S△ABD?PE=×?AD?DC?=．
　　 點評 在求解三棱錐的體積時，應注意轉換頂點，尋找合理的底面和高，然后直接套用公式即可．
　　 如圖2，三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點，三棱錐V的體積為，求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值．
　　 思索 要求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值，則需要知道三棱柱的底面邊長和側棱長，因此應通過“三棱錐V的體積”這一已知量，求解出底面邊長和側棱長，進而求解原問題．
　　 破解 因為A1A=A1C，且O為AC的中點，所以A1O⊥AC. 又由題意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交線為AC，且A1O?奐平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC． 設AA1=A1C=AC=a，所以三棱錐的高A1O=a． 又S△ABC=AB?BC=，所以三棱錐V=A1O?S△ABC=×a×=，所以=，所以a=2． 以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系． 由題意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，所以OB=AC=1，所以O（0，0，0），A（0，－1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0），則有=（0，1，－），=（0，1，），=（1，1，0）. 設平面AA1B的一個法向量為n=（x，y，z），則有n?=0，n?=0?圳y+z=0，x+y=0.令y=1，得x=－1，z=－，所以n=－1，1，－，所以cos〈n，〉==. 因為直線A1C與平面A1AB所成角θ和向量n與所成銳角互余，所以sinθ=．
　　 點評 已知空間幾何體的面積或體積時，則可以由公式求解出幾何體的某些空間量，進而應用空間向量的方法求解．
　　 在三棱錐A－BCD中，它的三視圖如圖3，其中正視圖和俯視圖都是直角三角形，圖中尺寸單位為厘米，求三棱錐A－BCD的側面積．
　　
　　圖3
　　 思索 把三視圖恢復成如圖4所示的直觀圖，則可證△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均為直角三角形，由此可求三棱錐A－BCD的側面積．
　　 破解 因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD． 又CD⊥BD，AB，BD都在ABD內，且相交于B點，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AD，所以△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均為直角三角形，由圖中尺寸知，AB=15，BD=20，CD=10，所以AD=25，BC=10，所以S側=S△ABD+S△ADC+S△ABC=150+125+75=275+75（cm2）．
　　 點評 幾何體的表面積與體積的問題經常與三視圖的知識結合在一起考查，解題時應注意三視圖與直觀圖的相互轉化，結合兩個圖形進行求解．
　　 如圖5，圓柱OO1內有一個三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑． 設AB=AA1，在圓柱OO1內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABC－A1B1C1內的概率為p． 當點C在圓周上運動時，求p的最大值．
　　 思索 概率p等于圓柱OO1的體積與三棱柱ABC－A1B1C1的體積之比，所以應選擇一個共同的變量把這兩個體積表示出來，然后計算它們的比值p的最大值．
　　 破解 設圓柱的底面半徑為r，則AB=AA1=2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V1=AC?BC?2r=AC?BC?r． 又因為AC2+BC2=AB2=4r2，所以AC?BC≤=2r2，當且僅當AC=BC=r時等號成立，從而V1≤2r3． 而圓柱的體積V=πr2?2r=2πr3，故p=≤=，當且僅當AC=BC=r，即OC⊥AB時等號成立，所以p的最大值是．
　　 點評 本題考查了立體幾何與幾何概型、不等式的交匯問題，很多同學因為其新而感到無所適從，其實，求解時只需翻譯條件、步步逼近即可．
　　
　　
　　 1. 縱觀近年試題，與表面積、體積相關的試題基本不單獨進行命題，最為典型的是與三視圖進行交匯設計．
　　 2. 立體幾何是培養空間想象力的數學分支． 我們要重視想象，重視識圖、畫圖，要將概念、性質靈活應用于圖形，要把文字語言、符號語言和圖形語言有機結合起來，要會把非標準圖形轉化為標準圖形，對圖形的割、補、折、展等高考?？疾凰サ膬热輵攸c關注．
　　 3. 克服“會而不對，對而不全”的現象． 在平時訓練中，我們應當養成規范答題的良好習慣，在做解答題時注意“一看、二證、三求解”．