三視圖

　　縱觀近幾年的各地高考數(shù)學試卷，有關三視圖的考題有以下兩類：其一是從直觀圖到三視圖，即由幾何體的直觀圖畫出或選擇其三視圖；其二是從三視圖回歸到直觀圖，即所謂的三視圖的逆向問題．
　　
　　
　　 １． 三視圖的重點
　　 ①畫出簡單組合體的三視圖．
　　 ②識別三視圖所表示的空間幾何體．
　　 ２． 三視圖的難點
　　 ①三視圖的逆向問題．
　　 ②當三視圖表示的空間幾何體不唯一時幾何體的確定．
　　
　　
　　 對于三視圖中涉及的逆向問題，筆者通過對近年各地高考數(shù)學試題的研究發(fā)現(xiàn)，這種問題通常有定型式、寄居式、組合式等三種呈現(xiàn)形式，下面分類介紹解決這些問題的常用解題對策．
　　 1． 定型式——先底面，再頂點
　　 對于題設中已經(jīng)給出原立體圖的類型或容易看出原立體圖的類型的問題，一般可先由俯視圖確定其底面的形狀（通常情況下與其全等），再由主視圖、側視圖及俯視圖確定其他頂點的位置． 從而畫出原幾何體的直觀圖．
　　 2． 寄居式——先外殼，再加工
　　 若能在三視圖中發(fā)現(xiàn)原幾何體是由一個我們熟悉的幾何體進行切割加工而成的，即原幾何體“寄居”在某一給定的外殼（母體）內(nèi)，則可先由各個視圖的外形確定其外殼，再由各個視圖內(nèi)的有關線段確定其加工的過程，從而確定原幾何體的形狀．
　　 3． 組合式——先猜想，后驗證
　　 對于組合體問題，最好能根據(jù)三視圖的性質，猜想組成組合體各部分的幾何體的形狀，然后加以驗證，從而得到原幾何體的直觀圖，使問題得到解決．
　　
　　
　　 一個棱錐的三視圖如圖1，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為（ ）
　　 A． 48+12
　　 B． 48+24
　　 C． 36+12
　　 D． 36+24
　　 思索 注意到題設已給出原幾何體是一個三棱錐，所以可運用“先底面，再頂點”的解題對策．
　　 破解 由俯視圖可知，棱錐的底面是腰長為6的等腰直角三角形；由正視圖和側視圖可知，這個三棱錐的高為4，且頂點在底面的射影恰為底面直角三角形斜邊的中點，所以其直觀圖如圖2，其中PA=PB=PC，且PO=4，OD=3，PD=5，AB=6（其中D，O分別為AC，AB的中點），所以其全面積為：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故選A．
　　 點評 解決本題的關鍵所在是如何由幾何體的三視圖確定其直觀圖，根據(jù)“先底面，再頂點”的原則，其底面比較容易確定，所以解題的重點是由正視圖和側視圖確定頂點的位置．
　　 若某多面體的三視圖（單位：cm）如圖3所示，則此多面體的體積可能為________．
　　
　　圖3
　　 思索 注意到三視圖的“外殼”都是邊長為1的正方形，所以原幾何體的“外殼”應該是一個棱長為1的正方體，即原幾何體“寄居”在這個單位正方體之中，故可通過對單位正方體的切削加工得到原幾何體．
　　 破解 （1）易見，原多面體可以看成由棱長為1 cm的正方體ABCD－A1B1C1D1經(jīng)過切割加工而得到（即其母體為正方體）．
　　 （2）由各個視圖的內(nèi)部線段可知，加工截面經(jīng)過A1D，BD，所以原多面體是正方體ABCD－A1B1C1D1截去四面體A－A1BD而得到的多面體．
　　 （3）由于截去的四面體的體積為cm3，所以此多面體的體積為cm3．
　　 （4）當一個幾何體的三視圖確定時，其幾何體不是唯一確定的，事實上，正方體ABCD－A1B1C1D1中，截去四面體A－A1BD后，再截去四面體C1－B1D1C所得的幾何體也滿足要求（由于視圖中應出現(xiàn)的虛線恰被實線覆蓋），此時所得的幾何體的體積為cm3．
　　 （5）綜上所述，此多面體的體積可能為cm3或cm3．
　　 點評 許多同學對這道試題感覺無從下手，究其原因，多數(shù)同學沒有注意到原多面體是“寄居”在一個單位正方體內(nèi)的事實，因此也沒有很好地發(fā)揮其母體——正方體的作用．
　　 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
　　
　　圖5
　　 A． 2π+2B． 4π+2
　　 C． 2π+D． 4π+
　　 思索 由三視圖可知，原幾何體是一個組合體，所以可運用“先猜想，后驗證”的解題對策．
　　 破解 由三視圖可知， 該幾何體由一個柱體和一個錐體組合而成．由正視圖可知，上半部分顯然是棱錐，再注意到俯視圖性質，下半部分必為圓柱，且圓柱的高為2，底面半徑為1，其體積為2π；上半部分為正四棱錐，側棱的長為2，底面正方形對角線的長為2，所以其高為，底面積為2，其體積為，總的體積為2π+，故選C．
　　 點評 在觀察三視圖時，注意圖形中的各個細節(jié)是很重要的，否則會差之毫厘，謬以千里，如本題中，注意到主視圖的上半部分的三角形內(nèi)還有一線段，即可得上半部分不可能是圓錐，從而使問題得到順利解決．若對三視圖做細微的改變，可得到很多不同結論的變式問題，同學們可以自己試一試．
　　 一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如圖7所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是_________．
　　 思索 注意到側棱長和底面邊長相等的正三棱柱有且僅有一個基本量，即當其體積確定時，這個正三棱柱也完全確定，所以其俯視圖確定后，其左視圖也完全確定．
　　 破解 設正三棱柱的側棱長和底面邊長均為a，則其體積為V=a3=2，解得a=2，所以其左視圖是一個長為2，寬為的矩形，所以其面積為2．
　　 點評 畫三視圖的“規(guī)矩”要熟練掌握，否則像本題這樣的容易題也容易出問題．
　　
　　
　　 1． 三視圖中涉及的主要問題是從幾何體到三視圖及從三視圖回到幾何體，出現(xiàn)的試題難度也不大，但必須通過適度的訓練，掌握解決這類問題的“基本套路”（解決三視圖問題的常用方法和技巧）．
　　 2． 三視圖的本質是什么？其本質是從正、俯、側三個角度看幾何體，因此若在掌握解題的“基本套路”的同時又能把握其本質，則可以不變應萬變．