2011立體幾何之我見
2011-12-29 00:00:00許建林曹鳳山
數學教學通訊·初中版 2011年12期
在高考試卷中，立體幾何試題一般為“1+2”或“1+3”的模式，共25分左右，客觀題主要考查三視圖、計算型問題、位置判斷型問題等， 其中不乏小、巧、活的試題，解答題著重考查空間想象、邏輯推理以及運算能力，一般先證后算，同時解答題還兼顧綜合法、向量法兩種方法．
立體幾何部分的考點主要包括
1． 空間幾何體
（1）了解和正方體、球有關的簡單組合體的結構特征，理解柱、錐、臺、球的結構特征．
（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，會用斜二測法畫出它們的直觀圖．
（3）會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．
（4）能識別三視圖所表示的空間幾何體；理解三視圖和直觀圖的聯系，并能進行轉化．
（5）會計算球、柱、錐、臺的表面積和體積（不要求記憶公式）．
2． 點、直線、平面之間的位置關系
（1）理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解有關可以作為推理依據的公理和定理．
（2）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定． 理解相關判定定理、性質定理．
（3）理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念．
（4）能證明一些空間位置關系的簡單命題．
3． 空間直角坐標系
（1）了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置．
（2）了解空間兩點間的距離公式．
4． 空間向量及其運算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．
（3）掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直．
（4）掌握向量的長度公式，兩向量夾角公式、空間兩點間的距離公式，并會解決簡單的立體幾何問題．
5． 空間向量的應用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量．
（2）會用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系．
（3）會用向量方法證明直線和平面位置關系的有關命題．
（4）會用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用．
1． 三視圖風景變幻
（2011廣東）如圖1，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則 命題解讀 本題是一種常見的重要題型，給出三視圖，計算相應幾何體的表面積、體積等． 《考試說明》中“根據條件想象出直觀形象”的“條件”之一即是三視圖，無論以三視圖或者平面圖給出條件，都是畫在一個平面內的，其圖形與立體圖形的差異容易產生錯覺，都要依靠空間想象，由圖想圖．
完美解答 由該幾何體的三視圖可以看出，正面是一平行四邊形，側面是一矩形，底面是正方形，可知該幾何體是一個平行六面體，其底面邊長是3，該六面體的高=，所以該幾何體的體積為32×=9，故選B．
2． 點線面位置靈活
（2011江蘇）如圖2，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F分別是AP，AD的中點． 求證：
（1）直線EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
圖2
命題解讀 本題考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力，是高考中最常見的考查形式，通常作為客觀題或者解答的第一問，有時也作為單獨的解答題，相對難度不大，要熟練掌握所有判定與性質定理，梳理好幾種位置關系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構造線線平行，也可以構造面面平行；要掌握解題時由已知想性質、由求證想判定，分析法與綜合法相結合來尋找證明的思路；同時要嚴格注意表述規范、推理嚴謹，避免使用一些正確但不能作為推理依據的結論．
完美解答 （1）因為E，F分別是AP，AD的中點，所以EF∥PD． 又PD?奐平面PCD，EF?埭平面PCD，所以直線EF∥平面PCD．
（2）因為AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中點，所以BF⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD．
3． 三類角光彩依舊
（2011重慶）如圖3，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°．
圖3
（1）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積；
（2）若二面角C－AB－D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．
命題解讀 本題考查幾何體的體積計算、空間角的求解，考查空間想象能力、推理論證能力． 在圖中沒有直接給出空間角的情況下，求空間角要完成“作—證—求”三部曲． 一般認為，綜合法對空間想象能力的要求更高，因為要對位置關系有更透徹的觀察、更具體的想象，尤其是圖象的分解、組合，即對圖象的處理要求較高．
圖4
完美解答 （1）如圖4，設F為AC的中點，由于AD=CD，所以DF⊥AC，故由平面ABC⊥平面ACD知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=． 在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=． 故四面體的體積V=?S△ABC?DF=××××1=．
（2）如圖4，設G，H分別為邊CD，BD的中點，則FG∥AD，GH∥CB，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補角． 設E為邊AB的中點，則EF∥BC，由AB⊥BC知EF⊥AB． 又由（1）有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB，所以∠DEF為二面角C－AB－D的平面角． 由題設知∠DEF=60°． 設AD=a，則DF=AD?sin∠CAD=． 在Rt△DEF中，EF=DF?cot∠DEF=?=a，從而GH=BC=EF=a． 因Rt△ADE?艿Rt△BDE，故BD=AD=a．從而在Rt△BDF中，FH=BD=． 又FG=AD=，從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得cos∠FGH===． 因此，所求角的余弦值為．
4． 空間向量熠熠生輝
（2011天津）如圖5，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=.
圖5
（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
（3）設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內，且MN⊥平面A1B1C，求線段BM的長．
命題解讀 本題考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力． 空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法． 不過實際情況也是喜憂參半，喜的是只要能建立直角坐標系，基本就可以處理立體幾何絕大多數的問題；憂的是對于缺少“墻角”的不規則的圖形建系的難度較大，坐標不能確定，問題就不能解決．
這道試題在建系時就有一點麻煩，z軸沒有直接的依托，需要根據空間位置關系確定相應點的坐標． 需要有對空間幾何體合理建系的意識，并能準確用向量來刻畫直線和平面的“方向”，即方向向量與法向量；要理解用向量判定空間位置關系、求解夾角與距離的原理，并掌握一般求解步驟．
其中，線線角、線面角與二面角是本類題型中的重點考查對象，應加強訓練．
完美解答 如圖6所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點． 依題意得A（2，0，0），B（0，0，0），C（， －，），A1（2，2，0），B1（0，2，0），C1（，，）．
圖6
（1）易得=（－，－，），=（－2，0，0），于是cos〈，〉===，所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為．
（2）易知=（0，2，0），=（－，－，）． 設平面AA1C1的法向量m=（x，y，z），則m?=0，m?=0，即－x－y+z=0，2y=0.令x=，可得m=（，0，）． 同樣的，設平面A1 B1 C1 法向量n=（x，y，z），則n?=0，n?=0，即－x－y+z=0，－2x=0.令y=，可得n=（0，，）． 于是cos〈m，n〉===，從而sin〈m，n〉=，所求二面角的正弦值為．
（3）由N為棱B1C1的中點得N，，． 設M（a，b，0），則=－a，－b，． 由MN⊥平面A1B1C1得?=0，?=0， 即－a（－2）=0，且－a（－）+－b?搖?（－）?搖+?=0，解得a=，b=，故M，，0． 因此=，，0，所以線段=．
5． 應用題老樹新花
（2011江蘇）請你設計一個包裝盒，如圖7所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點． 設AE＝FB＝x（cm）．
（1）某廣告商要求包裝盒的側面積S（cm2）最大，試問x應取何值；
（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應取何值，并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
命題解析 本題考查函數概念、導數等基礎知識，考查數學建模能力、空間想象能力、數學閱讀理解及解決實際問題的能力．應用題一直是高考注重考查的一個方面，立體幾何內容也是其重要載體之一，其特色在于根據條件想象空間幾何圖形，確定相應幾何量的數量，進而建立相應的關系，然后利用函數性質或導數工具求解．
完美解答 設包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm）．
由圖形得a=x，h==（30－x），0
當x∈（0，20）時，V遞增，當x∈（20，30）時，V遞減，所以當x=20時，V最大． 此時，包裝盒的高與底面邊長的比值=．
另外 ，2011年高考試題中，不少地區涉及空間幾何體的面積、體積以及空間距離、多面體與球的切接等問題，限于篇幅，這里從略，可詳見《自我檢測之立體幾何》一文．
1． 重視對《考試說明》的研究，準確把握知識要求及層次
《考試說明》確定了考查的具體知識內容，而且對考查的知識提出了明確的層次要求，同時明確了對能力的要求和考查的數學思想方法，認真研究《考試說明》，才能制訂相應的復習方法和策略，做到復習既不超綱，又能有針對性、有重點地復習，切實提高復習的效率．
2． 狠抓基礎，構建有序的知識網絡
立體幾何試題絕對難度不大，復習首要是強化基礎知識，確實掌握基本概念、性質、定理、公理、推論等，建立有序完整的知識網絡，同時掌握這些定理在不同題目中的用法，理解它們的個性和通性． 譬如對線線、線面、面面平行與垂直的證明問題，牢固樹立以下的思維脈絡：證線面平行（垂直）轉化為證線線平行（垂直）；證面面垂直（平行）轉化為證線面垂直（平行）或證線線垂直（平行）． 在此基礎上突出知識的主干，強調中心問題，做到全面細致，找到解各種題目的突破口，提高解題能力．
3． 熟練通法，注重核心數學能力的培養
復習過程中反對題海，反對過分依靠套路與題型，但是對于通性通法則要熟練掌握，如利用空間向量求線面角的方法，設直線l的方向向量為l，平面α的法向量為n，l與α所成的角為θ，l與n的夾角為φ，則有sinθ=cosφ=；利用空間向量求二面角的平面角的方法，設n1，n2是二面角α－l－β的兩個面α，β的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小． 若二面角α－l－β的平面角為θ，則cosθ=． 再如線面垂直、面面垂直的判定等，這些通法在高考數學解題中往往發揮著重要的作用． 不同的數學能力在不同的知識體系中的地位會有一些差異，在立體幾何部分，空間想象能力、轉化與化歸能力就尤其重要．
4． 強化訓練，表述嚴謹，書寫規范
在應用幾何法證明時，論證要嚴謹、求解要規范有序，“作”“證”“算”三個環節要嚴謹、清晰、規范，避免出現“會而不對”“對而不全”的情況．
