新課標《導數及其應用》教學七個易錯點集結

　　 摘 要：學習普通高中課程標準實驗教科書《導數及其應用》這一章知識時，學生往往受到舊知識的負遷移，再加上缺乏非一次、二次曲線的感性認識，在學習中存在一些認識上的誤區，常常不能解對問題，今從直線與曲線相切時公共點個數問題；求過已知點作與已知曲線相切的切線方程問題；函數的極值判定問題；函數的單調性問題等七個易錯點加以集結。
　　 關鍵詞：公共點個數；切線條數；極值點；單調性
　　
　　 導數是中學數學的一個重要組成部分，導數是解決不等式和方程的根的個數等問題有不可替代的有效方法。但學生在學習導數時，由于對導數基本概念、理論的理解存在著誤區，應用時常常出錯，下面從以下七個易錯點加以集結，便于讀者提高認識。
　　 一、直線與曲線相切時公共點個數問題
　　 在沒有學習導數新知識之前，我們已經學過直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線相切問題，并掌握了以下知識：
　　 1.直線l與圓C相切?圳直線l與圓C有且只有一個公共點。
　　 2.直線l與橢圓C相切?圳直線l與橢圓C有且只有一個公共點。
　　 3.直線l與雙曲線C相切?圯直線l與雙曲線C有且只有一個公共點。
　　 4.直線l與拋物線C相切?圯直線l與拋物線C有且只有一個公共點。
　　 注意結論3、4，不能用“?圳”符號，當直線l與雙曲線C的漸近線平行時，直線l與雙曲線C只有一個公共點，此時直線l與雙曲線不說相切，只能說相交。同樣，當直線l與拋物線C的對稱軸平行或重合時，直線l與拋物線C相交，不相切，這能從圖形中直觀感受到。
　　 從代數方面考慮，直線與圓相切，可由直線方程與圓（或橢圓或雙曲線或拋物線）方程聯立方程組，消去y（或x），得到關于x（或y）的方程，如lx2+mx+n=0，則有l≠0m2-4ln＞0的約束條件。注意：此方法具有局限性，不能推廣到更一般的。
　　 由于受到上述知識的影響，學生誤認為直線l與曲線C相切，此直線l與曲線C有且只有一個公共點。學習導數知識后，學生對直線l與曲線C在某處相切后，直線l與曲線C還有其他公共點很是驚訝與不解。
　　 通過逼近方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線，具有一般性，以前學的切線，僅是一些特殊情形。直線l與曲線C相切于點P，只反映在點P附近直線l與曲線C的狀況，直線l與曲線C相切，不能得出直線l與曲線C的公共點唯一。
　　 如圖①：直線l與曲線C在點M處相切，在點N處相交，直線 與曲線C有兩個公共點。
　　 如圖②：x軸（直線l）與曲線f（x）=x2不是一般意義的相交，而是在原點處相切。直線l與曲線f（x）的公共點唯一。