兩道競賽題的追溯

　　摘 要：本文通過探究兩道相似的競賽題的解法，追溯得到命制這類數學問題的依據．
　　關鍵詞：競賽；等腰三角形；推廣
　　
　　題1 如圖1，在△ABC中，已知∠B=46°，∠BAD=21°，若AB=CD，試確定∠CAD的度數． （北京市競賽題）
　　
　　解法１：如圖1，作△ABD關于AD的對稱圖形△AED，AE交BC于點O，則∠EAD=21°，AE=AB，所以DE=DB. 又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=46°. 連結CE，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE. 又DC=AE，則AO＝CO，∠OCA＝∠OAC， ∠COE=2∠ACO，∠COE=2∠AED=92°，故∠ACO=46°=∠OAC，所以∠CAD=∠DAE+∠OAC=67°．
　　評注：題中求出了∠ACB=46°，所以AB＝AC．
　　解法2：如圖2，過點A作AE∥BC，過D點作DE∥AB，連結EC，因為∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，所以∠DCE=∠CED=（180°－46°）=67°.
　　又∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°，故∠ADC=∠DCE，從而梯形ADCE為等腰梯形，因此AC=DE，故AC=AB=CD，于是∠CAD=∠ADC=67°．
　　解法3：如圖3，過點A作AE∥BC，且AE=DC，連結BE，DE，則四邊形AEDC為平行四邊形，所以ED=AC.
　　
　　因為AB=CD=AE，所以∠BEA=∠