幾個無理不等式的加權與變式

　　摘 要：本文主要運用柯西不等式、結合函數的單調性對《數學教學通訊》2009年第12期刊載的《幾個優美的無理不等式》一文進行加權推廣及并得到變式.
　　關鍵詞：柯西不等式；無理不等式；單調性；加權推廣；變式
　　
　　《數學教學通訊》2009年第12期刊載了《幾個優美的無理不等式》（下文稱其為文）一文，文中運用了均值不等式及契比雪夫不等式證明了幾個優美的無理不等式，本文將運用柯西不等式、結合函數的單調性對《幾個優美的無理不等式》一文進行加權推廣并得到變式. 現以定理的形式陳述如下：
　　引理 設x，y，z∈R+，則≥++.
　　引理證明略.
　　對《幾個優美的無理不等式》的定理1進行加權推廣，則有如下定理：
　　定理1 設a，b，c，λ∈R，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤=，由上兩不等式，定理1得證.
　　類似定理1的證明，我們有如下定理：
　　定理2 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理2即為《幾個優美的無理不等式》定理2的加權推廣.
　　對《幾個優美的無理不等式》定理3進行加權推廣，則有如下：
　　定理3 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤，
　　故++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知，f（x）=（λ>0）在區間（0，+∞）上單調遞增，結合f（x）的單調性，有++≥≥=.
　　類似定理3的證明，我們有如下定理：
　　定理4 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理5 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　定理4及定理5分別是《幾個優美的無理不等式》中定理4及定理5的加權推廣.
　　對本文定理3進行變式，可得到如下：
　　定理6 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.
　　證明 由柯西不等式，得++≥，
　　又由引理，得++≤，
　　故++≥.
　　由均值不等式，易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
　　從而++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知f（x）=（λ>0）在區間（0，+∞）上單調遞增，
　　結合f（x）的單調性，有++≥≥=.
　　類似定理6的證明，我們還可以得如下定理：
　　定理7 設a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，則++≥.