橢圓的一個性質的簡證

　　摘 要：圓錐曲線有關性質因其涉及眾多數學知識而使得在有關圓錐曲線的性質證明時思路廣闊. 本文在學習橢圓的一個性質的證明的基礎上，運用橢圓的參數方程給出一種更加簡潔的證法.
　　關鍵詞：橢圓性質；參數方程；簡證
　　
　　肖道涌作者在2010年《數學教學通訊（教師版）》第12期上發表的《橢圓的一個性質》一文中給出了橢圓的一個性質的證明，其證明方法過于繁雜，筆者經過深入思考給出性質的簡證：
　　性質：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），P（m，n）不在橢圓上，橢圓長軸的兩個端點為A1（-a，0），A2（a，0），設PA1與橢圓的另一個交點為C1，PA2與橢圓的另一個交點為C2，則直線C1C2與x軸的交點Q為，0.
　　簡證：設C1（acosα，bsinα），C2（acosβ，bsinβ）. 由P（m，n），A1（－a，0），A2（a，0）可得直線PA1的方程為y=（x+a），直線PA2的方程為y=（x－a）.
　　因為C1，C2分別在直線PA1，PA2上，所以bsinα=（acosα+a），即2bsin?cos=2acos2－a+a，整理得tan=. 類似地，tan=.于是，tantan=.（1）
　　由C1，C2的坐標得直線C1C2的方程為y－bsinα=?（x－acosα）. 令y=0，得x=a=a=a=a. （2）
　　把（1）式代入（2）式易得x=.
　　斜率不存在的情況可以驗證結論仍然成立.
　　說明：運用橢圓的參數方程形式可使變量相對減少，達到方便計算的目的.