一個定值問題的探究性學習

　　摘 要：證明某個具體二次曲線中相關計算結果恒為定值的解析幾何問題是高考的常見題型，本文通過對一道聯考題的探究，對其作出一般性的推廣.
　　關鍵詞：聯考題；定值；探究
　　
　　提出問題
　　題目 （2011年安徽省“江南十校”高三聯考數學試卷（理）第19題）已知雙曲線的中心在原點，坐標軸為對稱
　　
　　一個定值問題的探究性學習
　　
　　沈 軍
　　江蘇高郵中學 225600
　　
　　摘 要：證明某個具體二次曲線中相關計算結果恒為定值的解析幾何問題是高考的常見題型，本文通過對一道聯考題的探究，對其作出一般性的推廣.
　　關鍵詞：聯考題；定值；探究，一條漸近線方程為y=x，右焦點為F（5，0），雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上一點（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點.
　　（1）求雙曲線的方程；
　　（2）求證：?為定值.
　　解：（1）－=1. （求解過程略）
　　（2）?=0（定值）. （證明過程略）
　　
　　探究問題
　　探究1：此題中的直線l∶x=其實是該雙曲線的準線，進而猜想本題結果的一般性結論是否成立，經推理，做以下一般性推廣.
　　推廣1：已知雙曲線－=1（a>0，b>0），右焦點為F（c，0），雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上任一點（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點，則?為定值0.
　　證明：設A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直線A1P的方程為y=（x+a），直線A2P的方程為y=（x－a），解得M，+a，N，?－a. 易得=-c，+a，=-c，-a，于是?=－a2+－a2?. 因為－=1，所以=，從而?=－a2+－a2?=－=0，即?=0（定值）.
　　探究2：將本問題中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，該結論依然成立.
　　推廣2：已知橢圓+=1（a>b>0），右焦點為F（c，0），橢圓的長軸為A1A2，P為橢圓上任一點（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點，則?=0為定值0.
　　證明仿上，略去.
　　探究3：將準線改為任意一條與實軸垂直的直線，?仍是定值.
　　推廣3：已知雙曲線－=1（a>0，b>0）的右焦點為F（c，0），雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上任一點（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=t（t為常數）交于M，N兩點，則?為定值.
　　證明：設A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直線A1P的方程為y=（x+a），直線A2P的方程為y=（x－a），解得Mt，（t+a），Nt，（t－a）. 易得=t－c，（t+a），=t－c，（t－a），?=（t－c）2+（t2－a2）?. 因為－=1，所以=，從而?=（t－c）2+（t2－a2）?=t－a2，即?為定值.
　　探究4：把探究3的條件從雙曲線變為橢圓，結論依然成立.
　　推廣4：已知橢圓+=1（a>b>0）的右焦點為F（c，0），橢圓的長軸為A1A2，P為橢圓上任一點（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=t（t為常數）交于M，N兩點，則?為定值.
　　證明仿上，略. ?=t－a2為定值.
　　探究5：把推廣4中點A1，A2改為橢圓（雙曲線）上兩個關于原點對稱的點，動點P改為橢圓長軸（雙曲線實軸）頂點A，即有推廣5，推廣6.
　　推廣5：已知橢圓+=1（a>b>0）右焦點F（c，0），橢圓長軸的一個頂點為A（a，0），P，Q為橢圓上任意兩個關于原點對稱的點（不同于長軸上的兩個頂點），直線AP，AQ分別與直線l∶x=t（t為常數）交于M，N兩點，則?為定值.
　　證明：設P（m，n），Q（－m，－n），可得直線AP的方程為y=（x－a），直線AQ的方程為y=（x－a）=（x－a），解得Mt，（t－a），Nt，（t－a）.
　　易得=t－c，（t－a），=t－c，（t－a），所以?=（t－c）2+（t－a）2?. 因為+=1，所以=－，從而?=（t－c）2+（t－a）2?－，即?為定值.
　　推廣6：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）右焦點F（c，0），雙曲線實軸的一個頂點為A（a，0），P，Q為雙曲線上任意兩個關于原點對稱的點（不同于實軸上的兩個頂點），直線AP，AQ分別與直線l∶x=t（t為常數）交于M，N兩點，則?為定值.
　　證明仿上，略. ?=（t－c）2+（t－a）2?為定值.
　　揭示本質
　　實際上，本問題定值結果的產生來源于（以橢圓為例）橢圓+=1（a>b>0）上任意一點P（x0，y0），則有+=1，當出現點的坐標滿足的結構時，結果為－定值. 又如，對于橢圓+=1（a>b>0），A1，A2是其左、右頂點，P為橢圓上異于A1，A2的任一點，則直線PA1，PA2的斜率乘積為定值－（證明過程略）.