一道不等式題的多解、變式與推廣

　　摘 要：本文對一道典型的不等式問題進行了深入討論，得到它的7種解法、兩種變式以及一種推廣，展現了一題多解、一題多變在教學中的作用，有助于開拓學生的思路，訓練學生的思維，提升學生的解題能力，開發學生的解題智慧.
　　關鍵詞：不等式；多解；變式；推廣
　　
　　如果說探索一道題目的多種解法的目的在于開拓思路、訓練思維、發展思維的廣闊性，那么對問題的變式探究，則有利于培養學生的探究能力和創新意識.選擇基礎性強、解題方法典型、又能一題多解或一題多變的題目，引導學生從不同角度思考問題，進行多解探索，獲取不同的解法，進行變式探究，使問題得以拓展延伸，從而使看似平淡的問題獲得較好的教學效果.
　　題目 若不等式+≤a對任意正實數x，y恒成立，則實數a的取值范圍為________.
　　解法一：因為x，y>0，所以已知不等式可變為a≥. 又因為a>0，所以a2≥. 而x+y≥2，故≤=2，因此a2≥2，即a≥，實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法二：+≤a?圳a≥=. 由不等式對任意正實數x，y恒成立，得a≥max=. 當y=x時，實數a取最小值，故實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法三：因為y>0，所以已知不等式可化為+1≤a. 設=tanθ，θ∈0，，則tanθ+1≤a，即tanθ+1≤. 于是a≥sinθ+cosθ=sinθ+.
　　又因為sinθ+的最大值為1，此時θ=，所以a≥，即實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法四：因為x，y>0，所以已知不等式可變為a≥. 設u==+，而，∈（0，1），且2+2=1，故可設=sinα，=cosα，α∈0，，則u=sinα+cosα=sinα+≤，當α=時取等號. 因此，a≥，即實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法五：因為x，y>0，所以已知不等式可變為a≥，設u=，m=（，），n=（1，1），由m?n=m?ncosθ≤m?n，得+≤?，當m與n同向時取等號，可得u=≤，故a≥，即實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法六：令u=，=t（t>0），則u2=g（t）=2=.
　　g′（t）=，由t>0可得函數g（t）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減. 因此，gmax（t）=g（1）=2，故u2≤2，所以u≤，于是a≥，即實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　解法七：令u=，=p，=q（p>0，q>0），則u=. 于是u可以看成定點P（1，1）到動直線l：px+qy=0（p>0，q>0）的距離. 如圖1，由幾何性質可知定點P到動直線l的距離的最大值就是點P到原點的距離，為，所以u≤. 因此，a≥，即實數a的取值范圍為［，+∞）.
　　變式一 ?搖若不等式+≤a對任意正實數x，y恒成立，則實數a的取值范圍為________.
　　解：因為x，y>0，所以已知不等式可變為a≥． 又a>0，所以a2≥，因x，y是任意正實數，所以2=2≤λx+（其中λ為正常數），故≤=． 現只要下列等式對任意正實數x，y都成立，（1+λ）x+1+y=k（2x+y），所以1+λ=21+，即λ=2，所以k=，故a2≥，即a≥，所以實數a的取值范圍為，+∞．
　　變式二 若不等式+≤a對任意正實數x，y恒成立，則實數a的取值范圍為________.
　　同變式一的解法可以求得a≥==，所以實數a的取值范圍為，+∞.
　　推廣 若不等式+≤a（其中m，n為正常數）對任意正實數x，y恒成立，則實數a的取值范圍為________.
　　解：同變式一，即a2≥，因2=2≤λx+（其中λ為正常數），故≤=，現只要n（1+λ）=m1+，即（nλ－m）（λ+1）=0，又λ>0，故λ=.
　　因此，=，所以a2≥，即a≥，所以實數a的取值范圍為，+∞.
　　教學中要經常強化常規思路、常規方法， 不斷培養學生的解題能力和解題的毅力、信心. 解決一個問題不能僅滿足于得到結論，要善于對問題進行解法探究、變式探究，要注重一題多解、一題多變，要注重解題反思，要充分挖掘問題的本質、揭示問題的精髓. 正如羅增儒教授所言：我們以典型試題為載體研究解題，不僅僅是為了考試多得分、得高分. 在我們看來，包括解題反思在內的數學解題是數學學習中不可或缺的核心內容，數學解題的思維實質是發生數學，而不僅僅是“規則的簡單重復”或“操作的生硬執行”，是數學學習中不可替代的實質活動. 解題活動的核心價值是掌握數學，解題是一種最貼近數學思維的實質性活動，是掌握數學、學會“數學地思維”的關鍵途徑.