淺談勾股定理教學中數學思想的體現

　　摘 要：勾股定理是一個最基本、最重要的定理，它揭示了直角三角形的三邊關系． 勾股定理這部分內容蘊涵著豐富的數學思想，若能結合運用一些數學思想方法，轉換思維角度，便可使思路開闊，從而使數學更容易理解和記憶，更好地提高學生的學習效果． 本文以勾股定理的教學為例，從五個方面淺談其教學中體現的數學思想．
　　關鍵詞：化歸思想；數形結合思想；方程思想；分類討論思想；整體思想
　　
　　隨著新課程標準的逐步實行與推廣，數學教學在培養學生基礎知識和基本技能的同時，更加注重培養學生的思維能力． 本文以勾股定理的教學為例，探討在新課程教學中結合運用一些數學思想方法，通過轉換思維角度，達到滲透數學思想、訓練學生思維的目標．
　　
　　化歸思想
　　所謂化歸思想，就是把一個實際問題轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個簡單的問題，這種化歸思想不同于一般所講的“轉化”，它具有不可逆轉的單向性．
　　例1 已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC的值．
　　
　　圖1
　　評析：△ABC為斜三角形，利用化歸思想可化斜三角形為直角三角形，轉化為用勾股定理解決的問題． 過A點作BC邊上的高AE，將△ABC分成兩個特殊的直角三角形ABE與ACE，根據勾股定理，由AB=4，∠B=60°，先分別求出BE=2，AE=2，再由∠C=45°，得AE=CE，求出CE=2，從而得到BC的值為2+2．
　　例2 小剛同學代表學校在北京參加航模比賽，這天小剛與老師興沖沖地來到機場，卻遇到了一個大問題：機場規定旅客隨機攜帶的物品的長、寬、高不得超過一米，而小剛的飛機模型卻有1.6米長，飛機模型不能折斷、拆卸，托運又來不及，怎么辦呢？正當他們發愁的時候，小剛靈機一動，利用課堂上學到的知識將飛機模型完整地帶上了飛機． 同樣聰明的你，想到什么辦法嗎？并請你講出其中的道理．
　　
　　圖2
　　評析：這是一個生活實際問題，我們可以將它轉化為一個數學問題．先在底面ABCD的Rt△ABD中利用勾股定理由AB=AD=1，求出對角線BD=；再在對角平面D′DBB′的Rt△DBD′中，由DD′=1，BD=，求出BD′=，又因為≈1.7＞1.6，因而便可判斷能將飛機模型完整地帶上飛機．
　　例3 如圖3所示是一個三塊臺階，它的每一塊的長、寬、高分別為20 dm、3 dm、2 dm，點A和點B是這個臺階兩個相對的點，A點有一只螞蟻，想到B點吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是________dm．
　　
　　圖3
　　
　　圖4
　　評析：求幾何體表面的最短路程時，通常可以將幾何體表面展開，把立體圖形轉換成平面圖形（如圖4），在Rt△ACB中，AC=20 dm，BC=15 dm，由勾股定理易求出AB=25 dm，即螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是25 dm．
　　
　　數形結合思想
　　數形結合是把抽象的數學語言與直觀的圖形有機結合來思考，是抽象思維與形象思維的結合． 通過“以形助數”或“以數解形”，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題途徑的目的．
　　例4 A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320 km的B處，以每小時40 km速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200 km的范圍內是受臺風影響的區域．
　　（1）A城是否受到此次臺風的影響？為什么？
　　（2）若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
　　
　　圖5
　　評析：本題的情景與人們的日常生活密切相關，其思維深度具有一定的挑戰性，如何將實際問題轉化為數學模型（數形結合），是解決本題的關鍵．
　　如圖5所示構造數學模型，作AP⊥BF，在Rt△ABP中∠ABP=30°，AB=320 km，所以AP=160 km＜200 km，即A城受到這次臺風的影響．
　　設AD=AC=200 km，在Rt△ADP中，應用勾股定理，得DP= ==120 km，所以A城遭受風暴影響的時間為=6（小時）．
　　
　　方程思想
　　方程思想就是根據問題的條件或結論，列出方程或方程組，通過解方程或方程組，從而使問題得到解決．
　　例5 折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，AE為折痕． 已知AB=8 cm，BC=10 cm，試求EC的長．
　　
　　圖6
　　評析：由折疊重合可知△ADE≌△AFE，從而AD=AF=10 cm，DE=EF． 在Rt△ABF中，AB=8 cm，由勾股定理容易求出BF==6 cm． 又因為BC=10 cm，易求CF=4 cm，再在Rt△CEF中，若設CE=x，則EF=DE=8-x，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，可構造方程x2+16=（8-x）2． 只要求出方程的解，問題便水到渠成．
　　
　　分類討論思想
　　分類討論可以使解答更為嚴密完整，避免漏解的情況發生，分類時要引導學生按一定的標準，將問題分成既不重復又不遺漏的類別．
　　例6 已知在△ABC中，AB=20，AC=15，高AD=12，求：（1）BC的長；（2）求△ABC的面積．
　　
　　圖7
　　評析：由于三角形的高線的位置隨其形狀的不同而改變，本題中若△ABC為銳角三角形，則其高線在三角形的內部；若△ABC為鈍角三角形，則其高線在三角形的外部；若△ABC為直角三角形，則其高線在三角形邊上且與AC重合，而AC≠AD，所以△ABC不為直角三角形．故本題只須分兩種情況討論（如圖7）．
　　
　　整體思想
　　整體思想就是把考慮的對象作為一個整體看待，進而解決問題的一種數學思想． 應用整體思想解題，往往能化難為易，化繁為簡，起到事半功倍的效果．
　　例7 已知直角三角形的周長為18，斜邊長為8，求直角三角形的面積．
　　評析：若設兩直角邊長分別為a，b，因為a+b=10， 則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，所以要直接求出a，b的值，只要用一元二次方程a2+（10-a）2=64可解．
　　但解這個方程較繁，而由S=ab聯想到可運用整體思想：將ab視為一個整體，因為（a+b）2= a2+b2+2ab，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，所以S=ab=9，問題便順利獲解．
　　例8 在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖8所示），已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=________．
　　
　　圖8
　　評析：此題不可能分別求出S1，S2，S3，S4，但我們可以分別求出S1+S2，S3+S4． 例如S3+S4可用以下方法求得：易知Rt△ABC≌Rt△CDE，所以AB=CD，BC=DE． 又CD2+DE2=CE2，而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，所以S3+S4=3，同理S1+S2=1，所以S1+S2+S3+S4=1+3=4．
　　以上是僅在勾股定理中體現的數學思想，只要我們平時多加留意，引導得當，學生的數學思維能力就會提高．