2011年高考數學全國新課標卷第21題(2)別解

　　摘 要：研究高考試題，能夠深入的理解高考命題背景和命題特點，本文對2011年高考數學全國新課標卷第21題（2）進行了另解.
　　關鍵詞：高考數學、新課標卷、別解
　　
　　高考試題研究是高中數學教學的一項重要而常規的工作.由于高考命題具有連續性、重復性，因此研究高考試題能夠把握高考試題的發展方向，尤其是研究高考試題最常規、最能體現題目本質特征的解法，才能深入的理解高考試題的命題背景和命題特點，也才能發揮它在高中數學教學中的導向作用，提高高考復習的針對性和有效性. 以下是對一道高考典型題的研究.
　　題目：已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y－3=0. （1））求a，b的值；（2）如果當x>0且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍.
　　解法1：（2）由（1）知f（x）=+，當x>0，x≠1時，f（x）>+，即k<+1在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立. 令g（x）=+1，x∈（0，1）∪（1，+∞），則g′（x）=?lnx+. 再令h（x）=lnx+，x∈（0，+∞），得h′（x）=≥0，即h（x）在（0，+∞）上遞增. 而h（1）=0，故當01時，h（x）>0，則g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.
　　又+1=+1=0，所以k≤0，即k的取值范圍是（－∞，0）.
　　解法2：由（1）知f（x）=+，又當x>0，x≠1時，f（x）>+恒成立.
　　（1）當x>1時，由f（x）>+，得（k-1）（x2－1）<－2xlnx在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=（k－1）（x2－1），h（x）=－2xlnx，畫出h（x）的圖象， 過（1，0）點，且h（x）=0，要使（k-1）（x2－1）< －2xlnx在（1，+∞）上恒成立，只需當x>1時，g（x）的圖象在h（x）的圖象下方，由圖象知k>1時不成立，所以k≤1，故g（x）開口向下，過（±1，0）點，當x>1時由圖象斜率變化知g″（x）≤h″（x）在（1，+∞）上恒成立，即k－1≤－在（1，+∞）恒成立，所以k≤0.
　　
　　圖1
　　（2）當0+，得（k-1）（x2－1）>－2xlnx在（0，1）上恒成立，令g（x）=（k－1）（x2－1），h（x）=－2xlnx，畫出h（x）的圖象，要使（k-1）（x2－1）>－2xlnx在（0，1）上恒成立，只需g（x）的圖象在h（x）圖象的上方，當0h″（x）在（0，1）上恒成立，即k-1≥-在（0，1）上恒成立，所以k≤0.
　　綜上所述，k≤0，即k的取值范圍是（-∞，0］.