高中數學開放題教學探討

　　摘 要：以數學開放題為載體的教學已逐漸從“傳授知識”的權威模式向以“激勵學習”為特色的學生自主學習模式轉變，本文就數學開放題的一些基本特征、構建方法和教師具有開放意識進行了評述．
　　關鍵詞：高三數學；復習課；課堂教學模式
　　
　　數學開放題是相對于傳統封閉題而言的，體現在課堂教學上，便是應為學生創設一個有利于交流的開放活動環境． 通過合作、探究，讓學生的思維見解、情感體驗、意志欲望、行為方式受到尊重，引發他們積極進取和自由探索；同時在問題設計和討論時保留開放狀態，給學生創新思維提供更廣闊的數學天地，使學生得到更充分的發展．筆者結合這方面的教學現簡述于下．
　　
　　教師要形成開放的意識
　　開放題的突出功能是利于培養學生發散思維和創造能力，激發學生獨立思考和創新的意識． 作為特殊形式的數學問題在培養創造能力方面具有巨大的教育價值．教師應主動研究開放題，構建數學開放題并用之于教學． 教師在這樣的課堂教學中難以使用“灌輸式”的教學方法，學生主動參與解題活動不但成為可能，而且是非常自然和必要的． 一些學生希望與教師一起分享這種成功的喜悅，這就使課堂教學自然地走向了以學生主動參與為主要特征的開放式的教學． 在開放題教學中，教師除要具備傳統意義上的那些專業素質外，還應具有創造能力和自覺反省自身數學觀、教育價值觀和教學觀的意識．
　　
　　開放題的教學探討
　　開放題旨在開放學生的思路，開放學生的潛能，開放學生的創造力． 開放問題的構建無論是改造陳題，還是自創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放題的目的進行，開放題應當隨著使用目的和對象的變化而改變，應作為常規問題的補充，適合學生的開放題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點． 怎樣設計開放題用于教學呢？現從四個方面來探討．
　　1． 條件型開放
　　條件開放即未知的要素是條件．此類題中往往給出結論，要求從各種不同的角度去尋求這個結論成立的條件． 如：已知tan（α－β）=，________，且α，β∈（0，π），求α－2β的值． 由于印刷原因有一條件無法認清，但最后的答案是－π，根據題意及結果，請你推測空格處的條件．
　　簡析：本題是典型的條件開放題，需要執果索因，答案較多． 我們可以從結論逆推而上，得出在結論成立的前提下此題還缺少的是哪個條件． tanα=或tanβ=－都可以作為條件填入空格處．?搖
　　2． 結論型開放
　　結論開放即未知的要素是判斷． 這類題就是給出一定的條件，滿足條件的結論不止一個，具有發散性、探究性、層次性、創新性等特性． 如：給出一個數列｛ａｎ｝的前三項1，3，5．
　　（1）請你寫出這個數列的前6項；
　　（2）請你構造出數列｛ａｎ｝不少于3個不同的通項公式．
　　簡析：（1）數列｛ａｎ｝只有前三項是確定的，實際上從第四項起，各項均可適當取值，具有很大自由度，只要保持某種“序”，這一串數a1，a2，a3，…，an，…就是數列，于是我們可根據1，3，5這三個數的特征、聯系和發展趨勢，去考慮數列｛ａｎ｝的第4項、第5項、第6項……，得出一些不同的數列：
　　①如數列從第3項起，以后各項都是常數5，則數列｛ａｎ｝為1，3，5，5，5，…．
　　②如數列是周期為三項的周期數列，則數列｛ａｎ｝為1，3，5，1，3，5，1，3，5，…．
　　③如數列是等差數列，則數列｛ａｎ｝為1，3，5，7，9，…．
　　④如數列除a1=1，從第2項起依次為從小到大排列的奇素數，則數列｛ａｎ｝為1，3，5，7，11，…． 我們還可以從不同角度給出一些不同的數列．
　　（2）讓我們構造數列｛ａｎ｝的不同的通項公式，設a1=1，a2=3，a3=5.
　　①若｛ａｎ｝為等差數列，則an=2n－1（n=1，2，3，…）．
　　②若數列從第3項起，以后各項都是常數5，則數列an=5（n=3，4，5，…）．
　　③從遞推角度考慮，｛ａｎ｝中a1=1，a3=3，為使a3=5，可構想a3=2a1+a2，從而得an=2an-2+an-1（n=3，4，5，…）；若構想a3=2a2－a1，就可得an=2an-1－an-2（n=3，4，5，…）；若構想a3=6a2－13a1，就可得an=6an-1－13an-2（n=3，4，5，…）．
　　本題是典型的結論開放題，從已知的數據推測這些數據的變化規律，這是科學發現中非常重要的能力． 在激發學生學習的興趣，樹立學習的自信心，凸顯學生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質，培養群體意識、合作精神和創新意識，形成正確的科學態度等方面，都具有極大的優勢．
　　
　　策略型開放
　　?搖策略開放即未知的要素是推理．這類開放題解決問題的方法與思路不唯一，但結果卻能殊途同歸． 如：已知平面坐標系xOy中三點A（0，1），B（2，0），C（-2，0），請你構造一些函數關系式或曲線方程，使其圖象或方程的曲線經過A，B，C三點． 試盡可能多地找出這些圖象或曲線的共同點和不同點．
　　簡析：可以根據你的知識水平，發揮你的想象力，從不同角度去思考，如：二次函數；指數函數；對數函數；冪函數；三角函數；圓、橢圓、雙曲線和拋物線；再復雜的還有分段函數、帶絕對值符號的菱形方程等． 顯然本題的答案有無窮多個，下面是一些例子：（圖略）
　　（1）二次函數y=－x2+1；
　　（2）圓x2+y+2=；
　　（3）橢圓+y2=1；
　　（4）雙曲線一支（y-2）2－=1（y≤1）；
　　（5）余弦曲線y=cosx；
　　（6）折線y =+1，x≤0，-+1，x>0等等．
　　關于圖象的共同點與不同點，大致可以通過函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等方面結合圖象去探討． 這類題解題思路多種多樣，教學時應充分利用其開放功能，引導學生多角度地進行分析思考，以培養學生思維的發散性、靈活性、創造性． 由于沒有教師的權威性結論作為參考，學生就會仁者見仁，智者見智，一個人很難窮盡所有的答案和解題策略，而又缺乏現成可套用的解題模式，因此除了個人的獨立思考和積極探索以外，還必須有學生之間、師生之間的群體活動．
　　
　　綜合型開放
　　綜合型開放即只給出一定的情況，其條件、解題策略和結論都要求解題者自己去設定和尋找． 如：設α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題． 該題是條件開放，結論也開放，四個論斷任三個論斷都可作為條件，剩余一個則是結論，條件和結論都是不固定的，是可變的．解答該題需要考生去思考、分析、嘗試、猜想、論證，極具挑戰性、探索性，有助于培養學生的創新意識，發展創新能力．
　　開放題在考查學生創新能力方面有獨特作用，近幾年的高考試題中連續出現具有開放性的題目，開放題的研究已成為數學教育的一個熱點，因此從平時的教學中適當引進開放性問題以培養學生這方面的能力． 數學開放題為學生高層次思維的發展提供了一種可能，要求學生有較強的主動參與意識，要求教師有較強的課堂駕馭能力． 只有在教學實踐中逐步探索，我們教師才能真正有效地體現數學開放題的教育價值．