淺談學生解題后思維能力提升的起點

　　摘 要：本文從五個方面探討了解題反思的方式及作用，即解題反思，探求運用知識解題的合理性和正確性；解題反思，探求一題多解和多題一解；解題反思，探求問題所含知識的系統性；解題反思，探求知識整合，創設新問；解題反思，探求規律，形成總結．
　　關鍵詞：解題反思；類比總結；思維能力
　　
　　“反思”一詞在現代漢語詞典中的解釋是：思考過去的事情，從中總結經驗教訓． 那么，我們應解題反思些什么呢？實際上，我們應反思命題的來源與目的；考查的知識點及能力；解題中出現的問題；結論的驗證；條件的應用；求解過程是否判斷有據、嚴密完善；一題多解，多題一解．不斷地對問題進行剖析、歸納、類比、總結，對所含數學方法、思想進行思考判斷，體會問題的實質，享受探究的成就感，逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，從而達到提升思維的目的． 高考是以知識為載體、方法為依托、能力為目標來進行全方位考查的，命題時則是以能力為立意、以方法和知識為素材來進行命題設計的． 縱觀這幾年江蘇高考數學試卷，有些題背景新穎、能力要求高、內在聯系密切、思維方法靈活． 這正體現了目前新課程的理念標準，注重知識的形成過程，關注學生獲取知識的過程，不斷地培養學生創新精神和實踐能力． 但由于受學生的現有認知結構水平限制，大多數學生對知識不求甚解，熱衷于做大量題，缺乏解題后對題目的反思，也不善于糾正和找出自己的問題，缺乏解題后對解題方法、思路的總結． 一道數學題經過一番艱辛的演算解出答案后，應該認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核的知識點是什么？哪些知識點易綜合？我犯了哪些錯誤？本題有無其他解法，能否一題多解或多題一解？通過解題后的反思來改進解題過程，探討知識聯系、知識整合，探究規律等，讓學生的思維在解題后繼續飛翔，能力進一步提高． 為此，教師應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思，這才是學生思維能力提升的起點．
　　
　　 解題反思，探求運用知識解題的合理性和正確性
　　審題是對條件及問題的全面認識，是對條件及問題相關情況的全面分析研究，這是分析和解決問題的前提．高中數學試題，學生由于審題不準、概念不清、忽視條件，套用相近知識、運用相似辦法，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解題很難保證一次性做對． 而審題能力主要是指充分理解題意，把握住問題本質的能力，是指分析、發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力． 要快捷、準確地解決問題，掌握題目的特征、能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的，因此解題后，應對解題過程加以剖析，對結論的正確性和合理性進行驗證．但有些學生往往把做完題當成是完成任務，做完就丟到一邊，由此產生大量錯誤． 如答非所問、以特殊代替一般、臆造定理、考慮片面等．
　　例1（蘇教版高中數學必修4第97頁例6） 已知sin（α+β）=，sin（α－β）= －，求的值．
　　分析：怎樣利用已知的兩個等式呢？初看似乎找不出條件和結論的聯系，只好從問題入手. 當然，首先想到的是分別把tanα，tanβ求出來，然后求它們的商，這是個辦法，但不好求；于是可考慮將寫成，轉向求sinαcosβ，cosαsinβ． 令x=sinαcosβ，y=cosαsinβ，于是=． 從方程的觀點看，只要有x，y的二元一次方程就可求出x，y，于是轉向求x+y=sin（α+β），x－y=sin（α－β）． 這些都是已知的，問題得以解決． 如果問題變為“已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tanαtanβ的值”，那又該怎樣呢？
　　
　　解題反思，探求一題多解和多題一解，提升思維能力
　　高中數學知識模塊縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸． 這說明我們應進一步解題反思，探求一題多解和多題一解，開拓思路，勾通知識，掌握規律，權衡解法優劣，創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題思維能力更勝一籌． 一題多解，各種解法可能會用到不同的知識點、不同的解法技巧． 同時同一種解法又能解決很多問題，然后比較眾多解法中哪一種最簡捷、最合理． 把本題的解法和結論加以推廣，這樣既可看到知識的內在聯系，又能得出一般方法和思路． 在解題反思中要善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，這對提升解題思維能力尤其重要．
　　例2（2010高考江蘇卷） 在銳角三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，+=6cosC，則+=_______．
　　分析：（方法一）考慮已知條件和所求結論，對于角A，B和邊a，b具有輪換性．當A=B或a=b時，滿足題意，此時有cosC=，tan2==，tan=，tanA=tanB==，+=4．
　　（方法二）+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2，6ab?=a2+b2，a2+b2=，
　　+=?=?=?，由正弦定理，得上式=?===4．
　　
　　 解題反思，探求問題所含知識的系統性
　　解題之后，理應探求問題的知識結構和系統性． 學生能否對問題所含的知識點進行縱向深入探究、能否加強知識點的橫向聯系對提高能力至關重要，即能否把問題所含孤立的知識“點”擴展到系統的知識“面”，通過不斷地拓展、聯系、加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性． 南京師范大學葛軍教授曾經提出過下面的問題：你看到“已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根是x1，x2”，能想到哪些東西？他認為應該想到：（1）根與系數關系；（2）函數圖象、頂點、對稱軸分別用系數或根表示的式子；（3）方程根的判別式大于0；（4）用求根公式表示系數與根的關系；（5）函數解析式的根的表示法x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）等等． 如：已知非負實數x，y滿足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值．在解決這個問題時，如果對x，y的取值范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤），那么就極易產生錯誤． 這是因為學生不知用所學的數學概念、方法為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多方面的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調控，從而造成思維障礙．再如函數y=f（x）滿足f（2＋x）=f（2－x）對任意實數x都成立，證明函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱. 對于這個問題，學生不大會做，在解題后，在知識的遷移和應用方面進行反思，從函數這一章節中找相關的內容，探究知識的系統性，也就能順利解決這一問題．
　　
　　 解題反思，探求知識整合，創設新問
　　解題反思，探求知識整合，學生能進一步感到問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關的問題卻有著內在的聯系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質的聯系，要質疑為什么有這樣的問題？它和哪些問題有聯系？能否由這個問題受到啟發，將重要的數學思想、數學方法進行有效整合，創造性地設問？它能讓學生在不斷地探索知識聯系中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣，這對培養學生的創造性思維是非常有利的．
　　例3 點P在橢圓 +y2=1上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離AP的最大值．
　　這是一道簡單題，學生很容易得到AP的最大值是，但我們不能就此結束，學生經過解題后的思考、討論、總結，得出以下的幾種變題．
　　變題1：將求AP的最大值改為求AP的最小值．
　　變題2：將橢圓改為雙曲線 -y2=1，結論改為求AP的最小值．
　　變題3：將橢圓改為拋物線y2=2x，結論改為求AP的最小值．
　　變題4：已知點P在橢圓 +y2=1上運動，定點A（0，a）（a>0），求AP的最大值．
　　變題5：動點Q在圓x2+y2-4y+3=0上運動，動點P在橢圓+y2=1上運動，求PQ的最大值．
　　變題6：設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率e = ，點P在橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P的距離的最大值是，求橢圓方程． 并求AP取最大值時，點P的坐標．
　　改變題目的條件，會得出什么新結論？保留題目的條件結論能否進一步加強？條件作類似的變換，結論能否擴大到一般？像這樣創造性的全方位思考，常常是學生發現新知識、認識新知識的突破口，從而達到提升思維能力的目的．
　　
　　解題反思，探求規律，形成總結
　　對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結果、規律性的發現？能否形成獨到的見解，有自己的小發明？點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣． 積累的過程更有利于學生認知結構的個性特征的形成，并能增加知識的存儲量． 現在各校都在要求抓學生的錯題，筆者認為這可和記筆記有機結合起來，把筆記放在課后整理，借助筆記學生可更好地在課后解題反思消化所學知識，歸納總結方法，理清思路． 至于如何利用筆記，我們目前的做法是“即、顧、隨、鉆”． 所謂“即”，就是當下看，在你剛剛做好筆記后，立即理一理自己的思路，發散一下思維，搞定自己欠缺之處． 所謂“顧”，就是到周末時做的一項工作，把本周的筆記回顧一遍，問題可以自己獨立處理一下，也可弄些“醒示”語． 所謂“隨”，就是隨時看，隨便看，我們要求學生午飯后、晚飯后可隨意翻看筆記，看其中任意一頁，弄懂、弄透． 所謂“鉆”，就是在各種考試之前，更好地把筆記利用一翻．
　　總之，引導學生解題后不斷地對問題進行剖析、歸納、類比、總結，對所含數學方法、思想進行思考判斷，體會問題的實質，享受探究的成就感，才能使學生養成獨立思考、積極探究的習慣，從而達到提升思維能力的目的．