把握數學課堂的“題”和“問”

　　摘 要：筆者通過“軸對稱最短路線問題”的幾個實例探討數學教學中的“變題”與“設問”，通過對試題的變式、遷移、延伸和拓展，抓住試題涵蓋的知識本質進行方法的總結，讓學生以不變應萬變；通過精心設計問題、注重內涵和外延、巧妙把握提問的時機和切入點，提高課堂教學效率.
　　關鍵詞：變題；“題”與“問”；設問探討
　　
　　教學實踐告訴我們，數學課堂教學，無論從情景設置、活動探究、還是例題講解、鞏固應用、拓展提高等，無一不是通過師生間的教學互動來實現的. 維系課堂互動的核心是師生間的言語交流，所以數學課如何“問”成了課堂教學的關鍵.本文所指的“題”與“問”，指的是建立在課堂例、習題的基礎上，教師依據學生的認知規律，組織學生以“題”為主線、以“問”為手段深入探究，力求達到事半功倍的教學效果. 本文筆者通過“軸對稱最短路線問題”的幾個實例和各位讀者共同探討數學教學中的“變題”與“設問”.
　　
　　切忌“就題問題”，力求“順思而下、水到渠成”?搖?搖
　　平時的課堂教學受學生的認知水平、接受能力、上課時間等影響較多，教師在講課時往往只求將具體的問題講清、講透，對試題的剖析環節、引導環節下的工夫較少，對有的學生而言，教師的講解和分析沒有“因為”只有“所以”，數學課堂有時僅停留在“對答案、說答案”的層面，課堂教學效果不盡如人意.所以，筆者覺得，面對各種試題、各類試題，教師的講解如何切入，怎樣鋪墊設問，怎樣引導，為什么這樣思考，等等，應該是我們數學課堂教學的根本任務.
　　例題：如圖1，已知點A，B在直線l的同側，在直線l上找一點C，使AC+CB最短.
　　這道習題的解法每個學生都熟悉，利用軸對稱的知識，作出點A的對稱點A′，連結A′B交直線l于點C，點C即為所求.?搖
　　變題1：若題目條件不變，在直線l上能否找一點C，使CB-CA最長？
　　設問探討：筆者認為，怎樣將“差最長問題”引入到“三角形三邊關系”是本題講解的核心！
　　下面是一段課堂教學實錄，我們共同討論和研究.
　　教師：同學們，本題和我們剛才練習的“AC+CB最短”問題相同嗎？
　　學生1：不同，一個是“和最短”問題，這個是“差最長”問題.
　　教師：我們該用什么知識解決？
　　學生2：還是用軸對稱的知識.作出點A的對稱點A′，連結A′B.
　　教師：按照你說的作圖，如圖2. 這樣的點C是否滿足CB-CA的差最長？
　　學生3：不滿足，在直線l上另取點D，通過測量發現DB-DA＞CB-CA.
　　教師：作軸對稱的方法不行，那該用什么方法解決？（學生思考，冷場）
　　教師：（再次啟發）同學們聯想一下，什么知識和“線段之差”有關？
　　學生4：三角形三邊關系中有“兩邊之差”.
　　學生5：連結AC，BC，AB，我們可以得到一個三角形，“CB-CA”就是三角形的兩邊之差.
　　教師：三角形兩邊之差怎樣？
　　學生6：三角形兩邊之差小于第三邊.
　　教師：但題目中，要求CB-CA最長，怎么辦？
　　學生7：點C運動的話，CB-CA≤AB，所以當CB-CA等于第三邊AB時，CB-CA就最長了.
　　教師：分析得很好，怎么作圖？
　　學生8：連結BA，并延長交直線l于點C，點C即為所求.
　　變題2：如圖3，點A，B在直線l的兩側，在直線l上找一點C，使直線l平分∠ACB.
　　
　　圖3
　　設問探討：（實際教學中，可能會出現啟而不發的情況，教師需適時點撥）
　　假設找到了滿足條件的點C，它具有哪些性質？
　　能否依據性質反推作圖方法？分小組展開討論.
　　上述試題屬于“兩點一線”最短路線問題，順思利導、延伸拓展，可幫助學生開闊視野、積累經驗：
　　題型歸納1 “兩點一線”最短路線問題
　　變題3：如圖4，△ABC中，點P，Q分別是AB，AC邊上兩點，請在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短.
　　
　　教師：△PQR的周長最短指的是哪些線段的和最短？
　　學生1：線段PQ，PR，QR的和最短.
　　教師：怎樣使得PQ+PR+QR最短？
　　學生2：PQ為定值，只需確定點R的位置即可，只要PR+QR最短，△PQR的周長就最短了.
　　將問題轉化為例1的情形解決.
　　變題4：如圖5，ABCD是長方形桌球臺，擊打桌球M，經球臺AD邊反彈后撞擊桌球N，請作出球M的運動路徑.
　　設問探討：怎樣引出類似于物理中光線反射遵循的“入射角等于反射角”問題？
　　為什么可以用軸對稱知識解決本題？怎樣作圖？
　　變題5：如圖6，桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點中，可以瞄準的點有（ ）個.
　　A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
　　
　　圖6
　　設問探討：可作為變題4的訓練題使用.
　　題型歸納2 “一點兩線”最短路線問題
　　變題6：如圖7，傍晚小牛離開牛棚先去吃草，然后去洗澡，最后又回到牛棚. 問按怎樣的路線走，小牛所走的路程最短？
　　設問探討：怎樣聯想到作點A的對稱點？
　　為什么要作點A的兩次對稱？
　　為什么連對稱點A1，A2，而不是連結兩個垂足？
　　題型歸納3 “兩點兩線”最短路線問題
　　變題7 如圖8，已知直線a，b和點A，B，在直線a，b上分別找一點C和D，使四邊形ACDB的周長最短.
　　
　　圖8
　　設問探討：如何想到要分別作出點A，B的對稱點？
　　為什么這樣的點C，D能使四邊形ACDB的周長最短？
　　變題8 如圖9，傍晚小牛離開農田先去吃草，然后去洗澡，最后回到牛棚.問按怎樣的路線走，小牛所走的路程最短？
　　
　　圖9
　　設問探討：本例在變題4的基礎上加以研究，也可作為變題5的鞏固練習使用.
　　變題9 如圖5，ABCD是長方形桌球臺，若擊打桌球M，經球臺AD，AB兩邊反彈后撞擊桌球A呢？我們該怎樣作圖球M的運動路徑？
　　題型歸納4?搖 “三點兩線”最短路線問題
　　變題10 如圖10，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是________．
　　設問探討：
　　教師：點M，N都是動點，點B是定點，BM+MN的最小值和誰有關？
　　學生1：和點M，N的位置有關.
　　教師：點M，N的確定和∠CAB的平分線AD有什么聯系？
　　學生2：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
　　教師：我們是否要構造垂線段？過哪點作垂直？
　　學生3：不要作垂直，將點N轉化到AC上去，作MN′=MN.?搖?搖
　　教師：那BM+MN等于哪段線段？
　　學生4：等于BM+MN′.
　　教師：什么位置時，BM+MN′最小？
　　學生5：當點B，M，N′處于一直線時，BM+MN′最小.
　　教師：點B，M，N′處于一直線的情況有很多，最小值不確定.
　　學生6：當BN′⊥AC時，BM+MN′最小.
　　教師：同學們分析的非常好，動點問題轉化為定點問題，利用“兩點之間線段最短”來解決.
　　說明：本例在實際教學中注重學生間的討論交流，教師適時的引導、點撥.
　　變題11 如圖11，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，若在AC，AB上各取一點M，N，使BM+MN的值最小，求這個最小值.
　　
　　圖11
　　設問探討：離開了變題10的角平分線，以矩形為背景，如何求動態變化下的最短線路問題？我們的引導還是轉化點B或點N，使得點B′，M，N處于“一直線”上. 為此可以作點B關于AC的對稱點B′，再過點B′作B′H⊥AB，B′H即是BM+MN的最小值.
　　
　　
　　 數學課堂教學應注重“知識應用內涵的挖掘”，力求“觸類旁通、舉一反三”
　　數學來源于生活，應用于生活.聯系生活中的具體問題，往往可以使得所學的數學知識升華和發展，進而讓學生知新和創新. 軸對稱應用于生活的實例很多，如平面鏡反映數字、平面鏡反映鐘表時間、汽車車牌自倒影、汽車后視鏡反射車牌號、太陽光光線反射、剪紙問題等等. 本文主要研究的最短路線作圖題，難題不多，下面介紹比較典型的兩例.
　　變題12 如圖12，一公司、工廠和職工宿舍之間被河流阻隔，公司計劃在點A和點B處修建一座橋梁，為使職工從工廠到宿舍所走的路程最短（橋應垂直岸堤），問橋造在那個位置最合適？
　　
　　圖12
　　設問探討：本題是“造橋問題”之一，關注如下問題：
　　1. 要求所走的路程最短，但橋上距離不可縮短，所以必須要做到陸路最短.
　　2. 如何引導學生思考先將橋這段路程“走完”，再找陸路的最短距離？
　　3. 教學時注意區別軸對稱的知識與本題的關系，著重探討本題與上述變題的區別.
　　變題13?搖 如圖13，已知A，B兩點在直線l的同側，試用直尺（沒有刻度）和圓規，在l上找兩點C和D（CD的長度為定值a），使得AC+CD+DB最短．
　　
　　圖13
　　設問探討：本題屬于“竹排載人”問題，可添加背景資料：城市A和旅游景點B兩地間有大山阻隔，直線l是河流. A城市居民外出前往B處旅游，必須先步行至河流l處，然后乘坐竹排走水路，最后再上岸步行前往B處景點，為使出游人們所走的總路程最短，問竹排應在哪處載客，哪處卸客最合適？
　　關注如下問題：
　　1. 如何讓所走的總路程最短？
　　2. 分析總路程，總路程=AC（C為載客起點）+竹排水上移動距離+BD（D為卸客起點）.
　　3. 竹排在水上運動已經包括了人在竹排上的運動距離（即CD）.
　　4. 作圖時，引導學生思考先將竹排這段路程“走完”，再通過陸路確定載客卸客點.
　　5. 教師教學時如何利用軸對稱的知識解決本題？
　　任何數學題都有其自身的特點和效用，不同的題關注點不同，發揮的效用也不同；同樣的題，問的角度不同，產生的效果也不同；即使是一模一樣的題，不同教師的理解和講解也不同，但我們都可以通過對學生的接受、理解和運用的情況來推斷講課的實效.
　　因此，如何最有效的利用好每道試題，發揮每道題的作用，是每位教師課堂教學研究的重點. 教師只有針對數學題的本質特征和學生的理解水平，把握問題的角度，精心巧妙的設疑、布置合理的梯度、掌握問題的時機、尋找最佳的切入點、將問題分層次地拋給學生，以最大的效率發揮“引玉”的功效，才能真正把握數學課堂的“題”和“問”，將提問落到實處.