思維定式對高考數學解題的影響及對策

　　摘 要：分析思維定式對解高考數學試題的積極作用和消極影響，并找到擺脫消極影響的措施，對提高學生的解題能力，給教師提供教學參考意見具有重要意義，本文就此問題做了一些研究與思考．
　　關鍵詞：思維定式；高考數學；解題；影響；對策
　　
　　思維定式是指數學知識和經驗由于被人們按一定的個人習慣的“現成路徑”反復認識，形成了一種使人在解題時總想用固定的思路和習慣考慮問題與解決問題，思維定式是思維的一種慣性． 學生在解同類型的試題時，思維定式有積極的啟發作用，能夠提供解題途徑，從而縮短解題時間；在解變化的問題時，思維定式有消極的阻礙作用，使人缺少應變能力，表現在錯誤的思維導向干擾尋找簡便的解題方法、妨礙解決問題、導致解題錯誤等幾個方面． 分析思維定式對解高考數學試題的積極作用和消極影響，找到克服消極影響的措施，對提高學生的解題能力，給教師的教學提供參考意見具有重要意義．
　　
　　 思維定式對解題的積極作用和消極影響
　　1.?搖幫助尋找解題途徑
　　例1 （2011江蘇）已知tanx+=2，則的值為__________．
　　解：因為tanx+==2，所以tanx=，所以==．
　　本題的解法是受“化異角為同角”的思維定式的引導而產生的，迅速確定解題途徑，縮減了思維過程．
　　解答數學題，經過分析題意，從而將原題作適當變化后，往往都是利用已有的知識、方法和經驗，將其轉化為能夠解決的類似問題，或變為一個較為簡單的問題． 這種思維過程是在一定的思維定式的誘發下展開的，沒有形成這種思維定式，就不具備一定的解題能力． 思維定式的積極作用不言而喻，有利于解決用常規方法能解決的數學問題．
　　2． 干擾尋找簡捷的解法
　　例2 （2011全國）設向量a，b，c滿足a=b=1，a?b=－， =60°，則c的最大值等于（ ）
　　A． 2 B．
　　C． ?搖?搖D． 1
　　
　　圖1
　　解：如圖1，構造四邊形OACB，使=a，=b，∠AOB=120°，∠ACB=60°，所以O，A，C，B四點共圓． 設=c，則=a－c，=b－c，當弦OC與圓的直徑OD重合時，c最大，此時∠OBD=90°，∠D=∠ACB=30°，所以c=OD=2OB=2．
　　本題在思維定式下的解法是綜合應用向量的數量積的知識與均值不等式解題，解題過程煩瑣冗長，短時間內很難完成．
　　此處的解法是擺脫思維定式的束縛，另辟蹊徑． 通過挖掘隱蔽條件，構造圓內接四邊形，利用直觀的圖形表示抽象的數量關系而獲解． 此種解法新穎、簡捷，是創造性思維的結晶．
　　簡捷的解法源于思維的廣闊性、靈活性和深刻性，只有具備敏銳的觀察力、豐富的想象力、熟練的轉化技能，才能掌握事物的本質，在復雜的事物面前具有機敏與隨機應變的能力． 只有想得多，才能想得活，想得深，想得巧．
　　3． 阻礙解決數學問題
　　例3 （2009遼寧）若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x－1）=5，x1+x2等于
　　（ ）
　　A． ?搖?搖?搖 B． 3?搖?搖?搖?搖 C． ?搖?搖?搖 D． 4
　　解：已知方程可變形為2x-1=－x，log2（x-1）=－x． 作出函數y1=2x-1，y2=log2（x-1），y3=－x，y=x－1的圖象，函數y1，y2與y3的圖象分別交于A1（x1，y1），A2（x2，y2），函數y3與y的圖象交于點M，． 因為A1，A2關于M對稱，所以x1+x2=2×=． 選C．
　　本題受思維定式的影響，解題思路有以下幾種：求每個方程的根，再求和，導致思維陷入絕境，反映出思維呆板；不知如何對方程變形，反映出思維膚淺；雖然正確畫出了函數的圖象，但不知求x1+x2的整體值，反映出思維狹隘．究其原因，除了基礎的原因外，思維定式起了消極的阻礙作用．
　　4． 誘導產生錯誤解法
　　例4 （2007福建）對于向量a，b，c和實數λ，下列命題中真命題是（ ）
　　A． 若a?b=0，則a=0或b=0
　　B． 若λa=0，則λ=0或a=0
　　C． 若a2=b2，則a=b或a=－b
　　D． 若a?b=a?c，則b=c
　　本題的錯誤解法是受數的運算性質，如“若ab=0，則a=0或b=0；若a2=b2，則a=±b”的負遷移影響造成的． 數的運算性質在學生頭腦中已根深蒂固，將數的運算性質負遷移到向量的運算中，是思維定式的消極影響． 教學中教師可特意提出一些容易混淆的概念，引導學生辨認；適當給出一些似是而非的判斷，啟發學生辨別真假；還可出示某些問題的錯誤解答，組織學生討論，讓學生找出錯誤的地方及產生錯誤的原因． 這些做法有利于消除思維定式的負遷移作用．
　　
　　 擺脫思維定式的束縛，提高解題能力的措施
　　1. 培養認真審題的習慣，提高審題能力
　　審題是發現解法的前提，認真審題可以為探索解法指明方向． 首先，在教學時教師做到認真朗讀題目，分析題意，做出正確的審題示范；其次，要求學生閱讀題目，觀察題目的每一部分，思考題目中每一句話的含義，發掘題目中的隱含條件，啟發引導學生把已知、未知化簡，把問題轉化為簡單易解或有典型解法的問題；再次，要經常結合具體例子，對學生進行必要的審題教育，并找出他們的典型錯誤例子，讓他們檢查，指出審題時被遺漏的或誤解的信息，并指出其危害性，使審題成為他們必不可少的自覺行動． 長期堅持訓練，學生就會逐步養成認真審題的習慣，審題能力也會隨之不斷提高．
　　2. 培養學生探索解題方法的能力
　　審題之后，進入解題途徑的探索階段． 波利亞說：“教師在課堂上講什么當然是重要的，然而學生想的是什么更是千百倍的重要． 思想應當在學生的腦子里產生出來，而教師僅僅只應起一個助產婆的作用．” 教師應把著眼點放在培養學生的探索能力上．最有效的辦法是教師在教學時充分暴露自己分析題意，尋找解題方法的思維過程，同時讓學生積極參與解題的探索過程． 要求學生把自己分析和解決問題的思路與方法暴露在全班其他學生面前，教師針對學生的思路和方法進行評議，充分肯定其正確的分析方法與解題技巧，找出其不足之處，提出修改意見，指出其努力方向．
　　3． 培養學生的熟練技巧和創造性思維的能力
　　例5 （蘇教版選修2-1，P39，第7題）已知雙曲線－=1的焦點為F1，F2，點P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面積．
　　解法1：由已知得F1（-10，0），F2（10，0）． 設P（m，n）． 由PF1⊥PF2，得kPF1kPF=-1，即×=－1.
　　又－=1，聯立解得n=，S△F1F2=×F1F2×n=36．
　　解法2：因為PF1⊥PF2，所以P點在以F1F2為直徑的圓周上，所以m2+n2=100. 又－=1，以下同解法1．
　　解法3：由PF1⊥PF2，可得?=0，=（m+10，n），=（m-10，n），所以m2+n2=100，下同解法1．
　　解法4：設PF1=r1，PF2=r2． 由雙曲線的定義得r1-r2=16. 又PF1⊥PF2，所以r+r=400，聯立可推出r1r2=72，S△F1PF2=r1r2=36．
　　變式1：將條件PF1⊥PF2變為∠F1PF2=60°，其余不變．
　　變式2：將雙曲線－=1變為橢圓+=1，其余不變．
　　變式3：已知雙曲線－=1的焦點為F1，F2，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面積．
　　變式4：已知橢圓+=1的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，且∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面積．
　　變式5：已知雙曲線－=1的焦點為F1，F2，點P在雙曲線上，且△F1PF2的面積為b2，求∠F1PF2的大小．
　　變式6：結合例題，請自編一道改變條件或改變結論（一般化、特殊化）的變式問題．
　　例5是變式訓練的一個案例． 奧加涅相在中小學數學教學法中指出：“雖然思維并非總等同于解題過程，但是有理由斷言，思維形成的最有效的辦法是通過解題來實現．” 教師在解題教學中應立足教材，精選和安排例習題，采用變式教學． 通過一題多解加深學生對所學知識的理解，擴大學生認識的空間，激發靈感，提高發散思維和創新思維能力；通過一題多變擴大學生的視野，訓練學生思維的遞進性；由條件和結論的換位，訓練學生思維的變通性；由多向探討，訓練思維的廣闊性．通過命題的推廣與聯想，學生學會的不是一道題的解法，而是一組題的解法；通過編題，更能培養學生思維的深刻性、發散性、靈活性等多種思維能力． 教學實踐證明，變式訓練是克服學生思維定式的消極作用，提高解題能力的有效途徑．
　　思維定式的作用不在于思維定式本身，而在于思維定式是如何形成的． 在解題中，一方面要引導學生注意利用已有知識、經驗，充分發揮思維定式的積極作用；另一方面又要引導學生注意克服思維定式的消極作用，防止思維僵化．只有提倡變異思維，培養思維的靈活性、廣闊性，將思維定式與變異統一起來，才能真正獲得解題能力的提高． 如果能堅持這樣做，思維品質和非智力品質在思維過程中就能不斷得到鍛煉和完善，學生在解高考數學試題時就有能力適時擺脫思維定式的束縛，充分發揮創造性思維能力，為取得優異的高考成績奠定堅實的基礎．