問題設計在平淡中顯精彩

　　摘 要：在當前中學數學教學改革中，如何提高中學生的課堂參與度已成為一個焦點問題. 本文以三角函數值域的課堂教學為例，探索以學生設計問題為主的課堂教學方式，旨在提高學生的課堂參與度，同時讓學生在問題設計中建構自己的知識框架.
　　關鍵詞：動態生成；問題設計；知識框架
　　
　　美國數學教育家G?波利亞指出:“學習任何東西最好的途徑是自己去發現”;蘇霍姆林斯基也說過“不能讓學生參與是教師的最大過失”. 新課程理念認為，課程與教學是整合的，它是由教材、教師與學生、教學情景、教學環境構成的一種動態生成的生態系統. 在開展合作、對話、探究、交流的課堂教學中，隨時都會出現超出教師預設方案之外的新問題、新情況.這種課程資源往往蘊藏著學生的需要、困惑及真實想法，具有重要的教育價值和意義，如果能對這種資源進行恰當地處理與優化，就能更有效地開展教學活動，同時能對教師教學水平的提高起到難以估量的作用，真正實現教學相長的目的. 本文擬就教學中充分利用學生“設計問題”，讓學生在問題設計中建構自己的知識框架談幾點做法.
　　
　　 為合情合理的動態生成提供可能
　　《數學課程標準》明確指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上”. 引例的安排可以幫助學生回顧解決值域問題的基本方法，同時為下面的動態生成埋下伏筆，最終幫助學生形成自己的知識框架.
　　引例：說出求下列函數值域的方法.
　　（1）y=2x+1，x∈［－1，+∞）；
　　（2）y=；
　?。?）y=x2－4x+5.
　　學生思考片刻.
　　學生1：因為函數（1）單調遞增，所以當x?。?時函數有最小值， 值域是［－1，+∞）.
　　學生2：將（2）分離常數變形為y=1+，所以這個函數的圖象可以由函數y=的圖象左移兩個單位，再上移一個單位得到，從圖象上看值域是（－∞，1）∪（1，+∞）.
　　教師：很好，數形結合是很好的研究方法，函數的定義域、值域、單調性、奇偶性都在函數的圖象中有所體現.
　　學生3:配方法，將函數（3）配方成y=（x-2）2+1，所以值域是［1，+∞）.
　　
　　 讓學生思維在錯誤的第一次呈現中碰撞
　　富蘭克林有句名言“垃圾是放錯了地方的寶貝”. 因此，從某種意義上說，錯誤有時也是一種有效的生成性課程資源. 課堂上學生的錯誤尤其寶貴，因為這樣的錯誤很可能代表了一批學生的想法. 當它在課堂上第一次呈現時，倘若教師能不惜時間，努力挖掘錯誤的潛在資源，就能獲得事半功倍的效果.
　　教師：現在我們的函數中又多了一個新的成員：三角函數，它的值域又該如何去求？
　　例1 求函數y=2－sin2x的最值.
　　學生4：當sin2x=1，即2x=+2kπ，x=+kπ（k∈Z）時， y有最小值1；
　　當sin2x=－1，即2x=－+2kπ，x=－+kπ（k∈Z）時， y有最大值3.
　　變式 求函數y=2－sin2x0≤x≤的值域.
　　學生5：因為0≤x≤，所以0≤2x≤，0≤sin2x≤，所以該函數的值域是2－，2.
　　學生6：因為0≤x≤，所以0≤2x≤，0≤sin2x≤1，所以該函數的值域是［1，2］.
　　教師：同學們，我們幫生5看看問題究竟在哪里？y=sinx是單調函數么？一定在端點處取最值么？如何避免這類錯誤的出現？
　　學生6：我是畫出正弦函數的圖象，描出定義域的那段曲線，從而找到最高點和最低點.
　　教師：對，還是數形結合，生5以及犯同樣錯誤的同學們，請記住生6的建議.
　　
　　 平淡的問題設計有其積極的價值
　　根據引例，學生能順利設計出以下四個問題，這里的設計看似平庸，并不能體現出學生的創造力，但就在如此簡單的設計中，學生發現了前后知識的聯系，化歸思想在設計初就已心中有數.
　　教師：同學們，你們能否將例1轉化為我們已經熟知的題型？
　　學生1：例1相當于求函數y=2－x（-1≤x≤1）的值域.
　　教師追問：例1的變式呢?
　　學生1：相當于求函數y=2－x（0≤x≤1）的值域.
　　教師：看問題很透徹，我們在學習的過程中要試著找到前后知識間的聯系，這樣我們的知識框架才會更牢固.
　　教師：剛剛我們共同探討了y=asinx+b，y=acosx+b型函數的值域的求法，可將其化歸為一次函數的值域，但需注意自變量x的取值范圍. 你能結合引例設計其他類型的三角函數值域或最值的問題嗎？
　　學生7：設計1，求函數y=的值域.
　　學生8：設計2，求函數y=的值域.
　　教師：能將它們轉化為我們所熟悉的題型嗎？
　　學生9：設計1可以轉化為求函數y=（－1≤t≤1）的值域，設計2可以轉化為求函數y=（－1≤t≤1）的值域.
　　學生10：設計3，求函數y=sin2x－4sinx+5的值域.
　　學生11：設計4，求函數y=sin2x－sinx+5的值域.
　　學生12：設計3 可以轉化為求函數y=t2－4t+5（－1≤t≤1）的值域.
　　教師：四個設計選兩個解決.
　　
　　 引導并期待著學生的創造性設計
　　課堂教學中蘊涵著巨大的活力，只有師生的活力在課堂教學中得以有效發揮，才能真正有助于學生的培養和教師的成長，課堂上才有真正的生活. 這樣的課堂離不開師生之間、生生之間的互動. 以下幾位學生的設計較前者上了一個臺階.
　　教師：還有其他設計嗎？能否在他們的基礎上加大點難度呢？
　　學生13：設計5，求函數y=sin2x－4sinx+50≤x≤的值域.
　　學生13：設計6，求函數y=－cos2x－sinx+6的值域.
　　教師：有點不一樣哦，談談你們的想法.
　　學生13：設計5換元之后僅僅是t的范圍發生了改變，從［-1，1］變成了［0，1］，設計6將cos2x用1－sin2x替換之后就是設計4.
　　教師：嗯，有點意思，設計得很成功.
　　學生14（舉手）：設計7，求函數y=（log2x）2－4log2x+5（2≤x≤16）的值域.
　　教師：他的設計已經涉足對數函數領域了. 能解決么？
　　學生齊聲：能！
　　北京師范大學曹才翰教授指出：“數學學習是再創造、再發現的過程，必須要主體的積極參與才能實現這個過程”，學生的積極參與和自信的展示讓筆者感動，雖然有些偏離主題，但對全班學生是個很好的提示，將引例與三角函數、對數函數、指數函數復合，萬變不離其宗，學生對解決值域問題充滿自信，知識框架已經悄然形成.
　　教師：好的，現在輪到我出題了.
　　例2 求關于x的函數y=sin2x－asinx+5的最小值.
　　給學生盡量多的時間思考.
　　教師分析：問題可轉化為求y=t2－at+5（－1≤t≤1）的最小值，y=t-2+ 5-（－1≤t≤1）.
　　目前的困難是這個二次函數的對稱軸t=的位置不確定， －1≤t≤1這一段究竟在函數圖象的哪一部分不明確，怎么辦?
　　學生陸續回答：分類討論.
　　教師追問：以什么標準分?
　　學生15：對稱軸與［-1，1］的相對位置關系.
　　學生15（板演）
　　解：令t=sinx，－1≤t≤1，y=t2－at+5=t－2+5－.
　　當≤－1，即a≤－2時，在t=－1處取最小值，ymin=a+6；
　　當－1<<1，即－2　　當≥1，即a≥2時，在t=1處取最小值，ymin=－a+6.
　　教師：思路很清晰，最終答案總結成這樣就完美了！
　　ymin=a+6，a≤－2，5－，－2　　師生在相互作用中進行智慧的碰撞、情感的交融和心靈的溝通，從而實現教學生態的均衡發展. 讓每位學生在課堂上都有所收獲是我們每位教育工作者的愿望，含參問題和分類討論的思想是高中數學的難點，這個例題會讓基礎較好的學生有所收獲.
　　高中與初中相比，課程多、節奏快、難度大，特別是在數學的學習上不少學生力不從心. 這節課的特點是將學生參與體現在問題的設計和提出上，學生通過自己設計問題、解決問題，將一個新的知識自然地融入已有的知識結構中，自己搭建起來的知識框架將更加牢固.