關于數學科研中的前瞻性思維研究

　　摘 要：本文試圖分析數學史上許多重大科研成果，著重從數學科研中的創新思維入手對其含義特點、推理公式和重要作用進行了探討，并闡述了數學科學工作者理解創新思維的意義．
　　關鍵詞：數學科研；創新；研究
　　
　　數學科研中創新思維的含義
　　創新思維是指具有突破性的一種思想活動，包括開辟新領域的人類認識及思想活動創造的科學成果． 科學研究是人類探索未知事物的過程，是人類實踐認知世界的過程，是以創新為主要目的的． 數學科研中的創新思維是指在新的數學理念、模式與結構形成過程中，首先推出新的數學理念和方法，探求數學科研中認識未知領域的思想活動． 關于在具有獨特思維的數學命題方面的闡述與證明時，體現新增數學知識的思想活動，而不是模仿復制現有的數學成果，也是創新思維，諸如突破傳統的數學方法、推翻不正確的數學理論、發展新的數學研究對象等． 例如古希臘數學家歐幾里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的著作《幾何原本》十三卷，成功地演繹了數學體系，是最初的典范．這部用公理法建立的數學專著內容詳盡、結構清晰、推理嚴謹、判斷精準，這部著作的創新思維影響著世界數學，任何一部數學著作都無法超越它．
　　創新思維的特點是具有創造性、突破性，在數學科研中主要表現為以下幾方面：
　　1. 選擇新穎的思路
　　數學史上著名的非歐幾何就是一個典型的例子． 非歐幾何中的“第五公設”延續至今，很多數學家都想證明這個定理，結果一系列的等價命題被引申出來． 到了19世紀中期，又有一些數學家通過其他思路，研究了第五公設的反命題，創建了新的理論，有了新的創新．
　　2. 創新思考技巧
　　代數中求四次以上方程的根，在很長一段時期內，數學家們只考慮怎樣用公式表示其結果，都無可行性進展． 而后法國年輕數學家伽羅華運用了置換群的概念和辦法，將這個長期困擾數學家的難題解決了，并開辟了全新數學領域——群論． 方程可以研究其解是否存在，同時可以不用計算就能直接辨別是否可解．
　　3. 開拓思維見解
　　集合論因長期牽涉關于無窮集合的眾多問題而令數學家們爭論不休． 19世紀后期，德國的數學家康托爾指出，假如一個集合和它的真子集能夠構成相互對應，就是無窮集合．他發現了可數集后，證明了超越數的非結構性存在，使直線、平面、空間的點都存在相互對應等等．
　　
　　創新思維的多種形式
　　數學科研中創新思維是若干思維邏輯模式的整體運用，其中包括直觀的洞察力和假設的探測，想象的發揮和模式的設想，靈感的迸發和結論的感悟等形式． 數學科學研究中創造性思維較多的表現為如下幾種形式：
　　1. 直覺與假設
　　普通的自然科學研究需要分析、總結、設想、觀察實驗中所獲取的抽象材料，使認識產生質的飛躍，促使新的科學假說產生，再檢驗它的實踐性真理．但在數學科研中，創新的邏輯思維形式要在發現問題的基礎上建立科學假設． 在數學科研中，科學家直覺敏銳地提出問題，采用全新方式突破目標，從而解決問題時得到最優方案． 科學假說能夠引導科學家掌握事態的發展方向，找出問題解決的方法．主要表現在:
　?。?）根據普通的數學原理，推理出假設條件下的某種特殊推論；
　　（2）通過許多特別的數學命題，歸納出通性的數學結論；
　?。?）比較不同數學對象的相同點，提出新的數學假設，推理新的結論．
　　2． 聯想與想象
　　對于自然科學研究，人們將自然界發展過程與科研領域的跨越過程進行類比、說明，引導人們理解研究對象的規律以及更深層次的本質屬性． 數學科研是由一種前提得出的結論，通過改變其前提而得出新的結論． 想象是數學科研中數學模式間相互聯系的一種思維活動，它能使人們思維創新，提出可行性意見． 17世紀初法國哲學家笛卡兒（ＲｅｎｅＤｅｓｅａｒ）創立了解析幾何． 1637年發表的《幾何學》，意味著解析幾何學的誕生，它為代數和幾何的溝通創造了條件，將數與形兩大數學基本要素統一起來，既可用代數解析幾何，也能用幾何研究代數． 法國的創新科學家蒙日（Gaspard Monge1746—1818）在18世紀中葉幾何學遭遇瓶頸時，給幾何學增添了新的活力，真正的幾何學不但得以恢復，還創建了“畫法幾何學”，同時奠定了射影幾何學的基礎． 這是通過創新思路創建的幾何學，直觀性強，既與空間的認識相維系，又有分析學提供的方法相協助，在微分幾何方面也有巨大的貢獻．
　　2． 靈感與感悟
　　在自然科學的研究實驗條件下，偶爾緣于一些意外的變化，或別的因素的突然出現致使新的結果產生． 數學科研的創新思維是以知識積累為前提進行的長期潛心研究，它使認識產生了質的飛躍，通過整合分析、總結演繹，從而作出正確的決斷． 數學科研中常因觀察敏銳突發奇想而產生某種靈感，隨即抓住了關鍵問題的解決方法，得到所需的結論． 這種思維方法明顯不是由冥思苦想而產生的，它是在擁有了豐富的專業知識及靈活的邏輯思維后才得以迸發，是對問題反復思考、不斷探索后產生的感悟． 19世紀法國一位才識淵博的科學家和物理學家通過?？怂购瘮档陌l展經歷而對這方面的問題進行過論述．正如彭加勒（Poincaro1854—1912）所說，在數學領域的無限集合中選擇有益的集合，丟棄無益的集合，進而形成新的集合，才能產生新的理念、新的構想． 人的大腦擁有一種關于數學和諧性的直覺，這種直覺能夠對集合關系進行鑒別，從而有所發明和創造． 另一位法國數學家阿達瑪（Hadamard1865一1963）沿用了彭加勒的觀點，針對數學發明的心理要素進行了論述，討論了數學直覺致使頓悟的N種最佳選擇． 數學科研的創新性思維所產生的聯想、模仿只為獲得合理構想的過程稱為分散思維過程，而被驗證合理的構想所產生的思維分析及證明推理過程稱為內斂思維過程． 通常建立新的數學含義、原理和方法，都來自于分散思維能力，數學家的創新能力和它有著直接影響（該能力隨著數學家知識的累積量及想象力的增多而增大）．
　　
　　數學科研中創新思維的作用
　　創新思維活動主要表現為四個階段．
　?。?）準備階段：包括獲取信息、活躍思維、進行多方面的想象；
　?。?）培育階段：循環顯現主干的思路，最終確定問題的解決方案；
　　（3）感悟階段：明確思維方式，理清推理次序，出現思維轉折；
　?。?）檢驗階段：用邏輯證明發現所有的必然關聯，并檢驗其假設的存在性．
　　針對數學科研中的創新思維，在經過以上四個階段的演繹后，可以顯示出其重要作用．
　?。?）引導作用：由于數學科研中的創新思維形式是認知過程中的轉變和飛躍，它需要具有豐富的專業知識和全面思考問題、不斷探索的能力；它需要加以應用或反對現有的數學思維模式，引導人們在數學科研中發展和拓寬全新的科學領域． 比如一些現有的數學含義、原理被數學家們整合成一個周密的科學體系時，會應用一種高端的思維方法——公理化方法． 通過這種方法的啟發，在建立近代力學、物理學、天文學的過程中，該思維方式所起的作用是顯而易見的．
　　（2）紐帶作用：在人們的主觀意識和客觀現實之間出現的認識短路時，這種思維方式能起連接作用． 要想駕輕就熟地運用此方法，必須具備全面、豐富的科學知識；必須在某種思想激勵下善于引出各種想象． 例如數學家建立了坐標概念（即坐標法），通過運用這種思維方式，將運動和辯證法延伸到數學領域中，促使數學變革的產生，即迎來了變量數學的新時代．
　　
　　掌握創新思維規律的意義
　?。?）關于數學的研究對象，恩格斯在19世紀時就曾指出，現實世界的空間形態和數量關系構成了純數學的對象范圍，它們通過極其抽象的形式體現出來，我們必須在完全脫離其內容的基礎上去研究這些真實情況下的形式和關系． 他還道出，數學是一門抽象的思想研究的學科，隨著數學科學的深入研究，在數學中對有關“量”的科學有了更深入的了解，不斷有新鮮的血液來注入“量”的范疇，使之含義更加廣泛． “空間形態”也是從抽象結構之間的具體關系對象的相對位置成為一個理想化數學研究的“量化模型”． 創新思維規律的應用在數學模式的不斷發現和探索中顯得尤為重要．
　　（2）關于數學的研究方法，人們將概念、理論、技巧應用到數學科研中，對事物進行客觀的定量闡述，并具體分析該模式的數學構造． 由于數學模型反映一定程度的抽象結構和性能之間的關系，因此人們怎樣通過運用思維巧技和特定的邏輯工具去發掘和構想各種合理而有用的關系構造，在數學科研中已成為創新思維的主要方法，許多功成名就的數學家都能說明這一點． 在數學科研中，某些人通過發表論文而進行更改翻閱的各類文獻資料中的漏洞，采用這種科研方法頂多是進行章節、局部的輕微改動，只有將創新思維的規律把握好，才能為數學科學的發展作出較大的貢獻． 18世紀大數學家歐拉（LeonhardEuler1707—1787）的許多重大的研究成果涉及數學、物理學、天文學等眾多學術領域，其研究范圍廣、內容深、理論精辟，思維創新顯著，對今后數學科研的創新思維研究及人才的培養是值得借鑒的．