微積分中求極限的常用方法

　　摘 要： 極限是微積分的一個重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限計算又是學好微積分的前提條件。本文對微積分中一元函數極限的常見求解方法進行了歸納總結，旨在提高微積分的教學水平和學習方法，給初學者提供幫助。
　　關鍵詞： 微積分 極限 常用計算方法
　　
　　微積分是研究變量的一門學科，極限又是微積分的一個重要概念。 其理論的確立使微積分有了堅實的邏輯基礎， 使得微積分在日常生活和科學研究中得以更廣泛合理地應用和發展， 所以求極限成為微積分的重中之重。極限計算是學好微積分的前提條件，熟練掌握求極限的方法，能夠提高微積分的學習能力。求極限的方法有很多，這些方法應因題而異，靈活運用。我結合自己的工作經驗，總結和分析了微積分中極限若干求法及注意事項以供參考。
　　一、利用極限定義求極限
　　例1：證明e=0
　　證明：|f(x)-A|=|e-0|=e，
　　故?坌0＜ε（ε＜1），欲使|f(x)-A|＜ε，只要e＜ε，或者x＜lnε.
　　取正數X=-lnε，則當x＜-X時，有|e-0|＜ε，
　　因此e=0
　　注意：當x→+∞時，函數f(x)=e的極限是不存在的。由指數函數的圖像得知其值是趨于正無窮大的。即當x→∞時，函數f(x)=e的極限也是不存在的。
　　二、利用極限運算法則
　　1.無窮小運算法則
　　無窮小量本身就是一個極限定義。在求解極限的過程中，巧妙地應用無窮小量的性質，無窮小與無窮大的關系，以及無窮小量的等價代換求解極限將起到事半功倍的效果。但無窮小的等價代換是計算極限時學生最容易出錯的方法之一。此方法的難點在于學生搞不清楚替換的原理及對象，還有就是對無窮小的等價概念不清，所以要注意等價是有極限條件的。
　　例2： 求?cosx
　　解：因為=0，|cosx|≤1，
　　所以，由無窮小量的性質：有界變量與無窮小量之積仍為無窮小量，
　　因此 ?cosx=0.
　　對同一變化過程，α、β為無窮小，由等價無窮小的性質，可得簡化某些極限運算的下述規則：
　　①和差取大規則：若β=o（α），則α+β～α
　　例如，==.
　　②和差代替規則：若α～α′，β～β′且β與α不等價，則α-β～α′-β′，且lim=lim，但α～β時此結論未必成立，
　　例如，==2.
　　③ 因式代替規則：若α～β且φ（x）極限存在或有界，limαφ（x）=limβφ（x），
　　例如，arcsinx?sin=x?sin=0.
　　當x→0時，常用的等價無窮小有
　　x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（x+1）～e-1
　　1-cosx～x，α-1～xlnα，-1～x
　　一般的，有當u（x）→0時有
　　u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（u（x）+1）～e-1
　　α-1～u（x）lnα，-1～u（x）
　　這些等價關系在極限的運算中非常重要。需要注意的是在利用等價窮小求極限時無窮小與函數其他組成部分必須是乘、除關系，否則就會產生錯誤。
　　例3：求
　　解：因為x→0時，ln（1+3xsinx）～3xsinx～3x，tanx～x，
　　所以==3.
　　2.極限四則運算法則
　　利用極限四則運算法則的條件是充分而非必要的。因此，在對極限四則運算法則進行利用時，一定要逐一對所給的函數進行驗證。看其是否滿足極限四則運算法則條件，若滿足只要把x代替函數中的x就行了；若不滿足條件的，不能對其直接利用。例如對于分式函數直接代入后如果分母為零，這樣代入就沒有意義。我們應對函數進行適當的分解因式、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次冪、三角函數等恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則。
　　例4：求
　　結論：①在分式函數求極限中，當g(x)≠0時，=，當g(x)=0，f(x)≠0時，極限為無窮大；當g(x)=0、f(x)=0時，應消去零因子x-x；②分子、分母同為多項式，求當x→∞時的型極限。
　　=?搖?搖n=m 0?搖?搖 n＞m∞?搖?搖n＜m?搖?搖（ab≠0）
　　三、兩個重要極限
　　=1與(1+)=e這兩個公式在極限中占有重要位置。而我們在使用公式時并非完全套用公式，而是對其進行適當的變形。如=1，或=1，(1+)=e或(1+f(x))=e，其中f(x)代表相同的表達式。
　　例5：求(sin+cos)
　　解：原式=［(sin+cos)］
　　=(1+sin)
　　=［(1+sin)］
　　=e
　　注意：在利用重要公式時要注意條件=1，(1+x)=e，但=0，(1+)≠e.
　　四、利用洛必達法則求極限
　　洛必達法則是一種常用的、有效的求極限得的方法，它可以求形如，型的未定式，對于形如0?∞、1、∞、∞-∞，0型的未定式，可將它們轉化為或型的未定式來計算，其中0?∞和∞-∞型的未定式可通過代數恒等變形將它們轉化為或型的未定式，而1、∞、0型的未定式可通過取對數化成0?∞型的未定式。
　　例6：求
　　解：當x→0時，(e-1)sinx～x，因此有
　　=
　　=
　　==
　　從例子中可看出先對極限進行無窮小量的等價代換， 然后再應用洛必達法則，這種方法在應用洛必達法則計算未定式過程中往往能使計算簡單化。
　　例7：求（-1）
　　解：方法一：用洛必達法則。
　　分析可用洛必達法則，必須改為求（-1），但對本題用洛必達計算較為繁瑣。
　　方法二：原式=
　　洛必達法則雖然是有效的求極限得方法，但它不是萬能的求極限的方法。
　　應用時要注意幾點：（1）lim必須是或型未定式。
　　（2）如果lim不存在，不能判定lim不存在，只能用其他方法來判定這個極限是否存在。
　　（3）在計算過程中要及時化簡極限后面的分式及檢查是否滿足所要求的未定式，若不是則不能對它應用洛必達法則，否則將導致結果。
　　（4）lim存在時，式子是分別對分子分母求導數再求極限而不是對整個分式求導數。
　　總之，除了上面所列的求極限的常用方法外還有其他的方法。例如利用數列的前n項和公式，夾逼定理，拆項或添項，定積分的定義、 利用收斂級數求極限、 利用泰勒展式求極限、利用左右極限與極限關系來求分段函數分段點處的極限等。函數極限涉及到很多方面的知識， 在求極限時應該充分考慮， 首先應該分析已知函數極限的類型， 再根據條件考慮求解方法。各種求極限方法應靈活掌握，一種方法并不一定就可以解決極限的計算，有些時候要注意極限方法的綜合應用，以求達到最終的目的。
　　
　　參考文獻：
　　［1］韓漢鵬，馬少軍，徐光輝.大學數學微積分.北京：高等教育出版社，2010.
　　［2］田軍輝.淺談高等數學中幾種常用的求極限的方法.科技信息，2009.
　　［3］同濟大學數學教研室編著.高等數學.北京：高等教育出版社，2005.