中心極限定理的證明

　　摘 要： 本設計的目的在于用MATLAB實現對中心極限定理的證明，當k很大時，大量獨立隨機變量的和近似服從正態分布。本文用MATLAB具有的庫函數和一些常用算法實現對該定理的數學證明，并用圖形加以佐證。
　　關鍵詞： MATLAB 中心極限定理 證明
　　
　　一、引言
　　中心極限定理表明大量獨立隨機變量的和近似服從正態分布，它是正態分布應用的理論依據。設ζ，ζ，…ζ，…獨立分布且E（ζ）=μ，D（ζ）=σ，則當k很大時，η=Σζ近似服從N（kζ，kσ）。
　　概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態分布的一類定理。概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際應用背景。在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分布的。中心極限定理就是從數學上證明了這一現象。最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，事件A出現的次數漸近于正態分布的問題。1716年前后，A.棣莫弗對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現的概率為1／2的情況進行了討論，隨后，P.S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進行了推廣和改進。自P.萊維在1919-1925年系統地建立了特征函數理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發展，先后產生了普遍極限定理和局部極限定理等。極限定理是概率論的重要內容，也是數理統計學的基石之一，其理論成果也比較完美。長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發展。同時新的極限理論問題也在實際中不斷產生。
　　中心極限定理，是概率論中討論隨機變量和的分布以正態分布為極限的一組定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量近似服從正態分布的條件。
　　二、基本原理
　　1.數學模型
　　獨立同分布的中心極限定理
　　設隨機變量X，X，…，X，…相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0（k=1，2…），則隨機變量之和的標準化變量的分布函數Fn（x）對于任意x滿足limFn（x）=Φ（x）。
　　獨立同分布函數表達式y=
　　正態分布函數表達式y=
　　2.設計過程
　　為了證明在k很大時，獨立同分布近似服從正態分布，可以分別構造獨立同分布函數和正態分布函數，將獨立同分布的隨機點數目取得足夠大，然后繪圖觀察二者的分布擬合程度。
　　繪制獨立同分布的圖形
　　s=sum(r)；
　　mu=mean(s)； %求隨機數的平均值
　　sigma=std(s);%求均方差