談數學教學中逆向思維的培養

　　逆向思維是相對于習慣性思維的另一種思維形式。它是指在解決問題過程中，能主動改變思維方向去考慮問題，從已有思路的相反方向去思考問題。即順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決；探討可能性發生困難時，考慮探討其不可能性；正命題研究過后，研究逆命題。逆向思維擺脫了固有的思維定勢，它不拘泥于已有的范例和模式解決問題，是靈活運用知識和智慧去探索、發現和掌握未知的知識，解決未知的問題。如何充分利用初中數學教材，對學生進行逆向思維能力的培養？下面我就這個問題談談自己的看法。
　　一、逆向設問，培養學生的逆向思維的意識
　　在課堂教學中，教師除了對知識作正面講解外，還要經常有意識地挖掘互逆因素，反向設問，打破學生的思維定勢，對學生進行逆向思維的培養，加強學生對知識的理解和應用。
　　例如：在講絕對值的知識時，在對學生進行正面的訓練后可設計這樣的問題：若|a|=4，則a=?搖?搖?搖?搖.
　　像以上可逆向思維考慮的問題在初中教材中無處不在，教師如果有意識地去抓住，及時加以處理，就可促進學生思維向多向發散，這無疑對其逆向思維的培養有積極的作用。
　　二、抓住定義的可逆性對學生時行逆向思維的培養
　　定義教學是初中教學的一個重要環節，定義總是可逆的，具有性質和判定兩方面的作用。在教學中，讓學生學會從正反兩個方面理解、運用，對學生正確全面地理解定義和提高學生思維的靈活性都是有益的。
　　例如：對線段中點的定義可對學生進行正反兩方面的訓練。
　　（1）∵C為AB的中點（已知）
　　∴AC=BC（中點的定義）
　　（2）∵AC=BC（已知）
　　∴C為AB的中點（中點的定義）
　　三、重視公式、法則的逆應用，培養學生的逆向思維
　　在數學中，有許多的公式和法則，而且有許多公式和法則反過來也成立，可以正反使用。在數學學習過程中，學生往往習慣于公式法則的正向使用，而忽視了公式法則的逆應用，有時逆用公式，或適當改變公式的形式再用，往往能起到意想不到的效果。教師可抓住公式、法則的可逆特點，對學生進行公式的正反兩方面的使用訓練，既能使學生加深公式的理解和應用，又能培養學生的逆向思維。
　　例1：計算2×（）
　　這里可引導學生逆用同底數冪相乘和積的乘方公式：a=a?a，a?b=（ab）
　　解：2×（）=2×（）×=（2×）×=
　　例2.計算（x+3y-2z）-（x-3y+2z）
　　此題很多同學都習慣先算平方再算減法，當然逆用平方差公式就簡單多了。
　　解：原式=［（x+3y-2z）+（x-3y+4z）］［（x+3y-2z）-
　　 （x-3y+2z）］
　　 =2x（6y-4z）
　　 =12xy-8xz
　　四、利用逆命題的教學，培養學生的逆向思維
　　數學中存在大量的命題，在教學中教師可經常引導學生考慮逆命題是否成立;成立的話，逆命題又應如何應用等，以幫助學生發現新的結論，加深學生對知識的理解，啟發學生思維的靈活性，培養學生逆向思維的能力。
　　如：定理：兩直線平行，同位角相等。
　　問：逆命題是什么？成立嗎？從而自然引導學生得出逆命題：同位角相等，兩直線平行。通過對逆命題的探索得到一個新的定理。
　　又如：命題：若a=b，則a=b。
　　問：逆命題是什么？成立嗎？這個命題的逆命題是：若a=b，則a=b。它是不正確的。
　　經常對學生進行這方面的訓練，讓學生養成反過來思考問題的習慣，可培養學生逆向思維的能力，讓學生從中發現許多新的結論，提高學生思維的深刻性。
　　五、在問題解決過程中重視基本逆向思維方法的教學，培養學生的逆向思維方法
　　在數學問題解決過程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時往往會陷入困境。在教學中，要善于引導學生學會從不同的角度，不同的方向思考問題。順推不行時，考慮逆推；直接解決不行時，考慮間接解決，在解決問題遇到障礙時，迅速轉變思維方向，尋找解決問題的其他途徑，促使問題解決。教學基本方法是教學的重點內容。其中的幾個重要方法——分析法、反證法，是培養逆向思維的主要方法。在教學中，教師可加強對學生進行這些方法的指導。
　　1.分析法，人們稱之為“執果索因型逆向思維”。它是分析問題解決問題的非常重要的方法，在幾何證明題中，體現更多。讓學生在分析問題中養成“要證什么，需證什么”的思維方向，從命題的結論出發，逆推它成立的充分條件，達到把問題轉化，如此一步一步地進行下去，達到推出原命題的條件，從而使問題得以解決。教師通過分析法進行教學，可培養學生的逆向思維，提高學生分析問題解決問題的能力。
　　例如：如圖，在ΔABC中，BD和CE分別是ΔABC的兩條高.
　　求證：∠ABC=∠ADE.
　　分析：從逆向思維的角度出發，從結論出發，欲證明∠ABC=∠ADE，若能證明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，這樣就把證明∠ABC=∠ADE的問題轉化為證明ΔADE∽ΔABC的問題。如何去證明ΔADE∽ΔABC呢？結合題設，這里已有∠A=∠A這個條件，要找到其余一組角對應相等是不可能的，若有條件=就可以得出ΔADE∽ΔABC，這樣把證明ΔADE∽ΔABC的問題轉化為證明=的問題，那么有如何去證明=呢？只要證明出ΔADB與ΔAEC相似即可得出=這個結論。這樣又把證明=的問題轉化為ΔADB∽ΔAEC的問題，而根據條件完全可以證明出ΔADB∽ΔAEC，從而問題得以解決。
　　2.反證法是數學中的一種重要方法，由于它的思維特點，在數學中也有廣泛的應用，下面是用反證法證明的一個例子。
　　例如：證明：一個三角形中至少有一個角不小于60度。
　　分析：至少一個角為60度的情況有三種：一個、二個、三個，這證明起來比較難。換個角度想，至少一個的反面是沒有一個角不小于60度，只要說明一種情況不可能就能說明命題成立。顯然，若沒有一個角不小于60度，則三個角都小于60度，這樣它的內角和將小于180度，這與三角形內角和定理矛盾。因此，沒有一個角不小于60度不成立，所以原命題成立。
　　通過這些數學基本方法的訓練，學生能明確用一種方法解不出來時，要轉化思維方向，從反面來思考，提高學生逆向思維的能力。
　　逆向思維有著許多優點和長處，在數學教學中，教師應重視加強學生的逆向思維能力訓練，使學生認識到，當一個問題用一種方法解決不了時，可轉換思維方向，進行反面思考，從而提高逆向思維能力。培養學生的逆向思維，不僅僅對提高學生分析問題、解決問題的能力有益，更重要的是能改善學生的思維方式，有利于培養學生思維的靈活性、廣闊性、深刻性，使學生形成良好的思維習慣，有利于激發學生的創新開拓精神。
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