關(guān)于數(shù)域(系)擴(kuò)充的有趣探究

　　摘 要： 本文從實(shí)數(shù)完備性及數(shù)域擴(kuò)充方面談?wù)劇叭の稊?shù)域”，以激發(fā)高校大學(xué)生對(duì)更高深數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣及研究興趣。
　　關(guān)鍵詞： 實(shí)數(shù)完備性 數(shù)域擴(kuò)充 實(shí)數(shù) 自然數(shù)
　　
　　在小時(shí)候我們學(xué)數(shù)系都從數(shù)手指頭開始，這就是自然數(shù)系，在自然數(shù)系N之后，有正有理數(shù)系（分?jǐn)?shù)），然后推廣到負(fù)數(shù)，因此有了整數(shù)全體，從整數(shù)再推廣就是所有的有理數(shù)。這要如何介紹呢？一開始先有自然數(shù)，然后有分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)就是因?yàn)槌槐M而產(chǎn)生的，也可說是為了要解如5x=3的方程式而產(chǎn)生。負(fù)數(shù)的出現(xiàn)是因?yàn)橐馊鐇+7=2的方程式，亦即是要作2-7=-5的運(yùn)算。因?yàn)橐惯\(yùn)算成為可能就必須慢慢地把數(shù)系擴(kuò)展，不擴(kuò)展就沒有辦法，這是發(fā)展整個(gè)數(shù)系的一個(gè)動(dòng)機(jī)。在運(yùn)算上，從加減乘除一直做到有理數(shù)就完備了，因?yàn)榧訙p乘除在有理數(shù)中都可以自由運(yùn)算下去。
　　為什么會(huì)出現(xiàn)R？是因?yàn)閤=2這個(gè)方程式在有理數(shù)系中沒有解，可見有理數(shù)系是不夠用的，所以出現(xiàn)了無理數(shù)；當(dāng)然也因?yàn)閤+1=0在實(shí)數(shù)系中不可解，所以出現(xiàn)了i，由此我們可以擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。在從N擴(kuò)展到有理數(shù)系Q是為了要使四則運(yùn)算不受限制，解方程式也是一個(gè)很重要的原因。但由Q再擴(kuò)展下去是否還是為了解方程式呢？
　　其實(shí)無理數(shù)的出現(xiàn)，不只是為了代數(shù)上的動(dòng)機(jī)，在數(shù)學(xué)上還有其他種種理由。在初中，你可能用純粹代數(shù)的理由來擴(kuò)展數(shù)系，到了高中就不是了。到了高中，研究種種函數(shù)，如三角函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，這是一個(gè)重要的主題：但在高中，還有一個(gè)重要的主題就是解析幾何，即笛卡爾與費(fèi)馬所發(fā)明的坐標(biāo)幾何：用坐標(biāo)的方法來做幾何問題，所有幾何問題都用坐標(biāo)來解。這個(gè)辦法與今天所談的題目有密切的關(guān)系，它是數(shù)與圖形的配合，也就是將代數(shù)與幾何結(jié)合在一起。在平面解析幾何中用兩個(gè)數(shù)（x，y）來表示一點(diǎn)，立體解析幾何用三個(gè)數(shù)（x，y，z）來代表一點(diǎn)，將來可以推廣到n維空間，但最基本的還是在一維空間的圖形，因?yàn)閮删S、三維……均可類推，一維空間的情形牽涉很廣，如測量問題。它與實(shí)數(shù)的完備性有密切的關(guān)系。在數(shù)學(xué)史上量長度與坐標(biāo)化是在直線上取0為原點(diǎn)，1為單位長，我們就可以在直線上點(diǎn)出2、3……還有“幾分之幾”。古時(shí)候是沒有解析幾何的，可是在古時(shí)候，坐標(biāo)化的概念也是有的，但不明確。主要是在測量幾何的度量問題，我們用尺，有刻度，量多少就是多少，但尺的刻度是怎么來的？這就是度量的理論，原則上這是用比較的方法。剛開始，古時(shí)候的人，只會(huì)用尺做單位，一尺一尺去量，這就是說整數(shù)都可以量，但是如果“比7尺多，比8尺少”他們就不會(huì)量了。慢慢地，他們就知道了刻度，用幾尺幾寸慢慢地刻，這就是比例的關(guān)系，用作平行線的方法來刻，這與平面幾何有著密切的關(guān)系。當(dāng)單位取定后，所有有理數(shù)都可以表達(dá)出來，尺寸都是十進(jìn)制，但也可以用12進(jìn)位，如1英尺=12英寸或其他進(jìn)位，用這個(gè)辦法，大致來說數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)可達(dá)到一定的程度。
　　這里順便提到希臘幾何作圖的三大難題：倍立方體（作一立方體使體積為原來的兩倍），方圓問題（作一正方形使其面積等于一圓之面積），一般角三等分。希臘人用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，以有限次的步驟去刻出有理數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（有理點(diǎn)），借著比例、相似的概念，就可以做加減乘除的四則問題。在直線上所刻劃的有理點(diǎn)與有理點(diǎn)之間還有密密麻麻的有理點(diǎn)，這就是有理數(shù)的稠密性。但現(xiàn)在還有一個(gè)問題，就是在直線上除了能刻劃的有理點(diǎn)之外是否還有其它的點(diǎn)存在？（這問題很抽象，也不很bzaEenyifyE5yDRFsyQlBO5HULdb2PLKRSYWktpdqec=實(shí)在，因?yàn)槲锢砩系狞c(diǎn)都有寬度。）不過，有理點(diǎn)并未填滿數(shù)線，也就是說：所有有理點(diǎn)并不能構(gòu)成直線，像剛剛提到的，我們可看成：有一個(gè)數(shù)x是正的，且滿足x=2，而希臘人都知道它不是正有理數(shù)，理論上這是一個(gè)無理點(diǎn)，但它是否存在，當(dāng)時(shí)是有疑問的。這一直到畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理時(shí)，才確定了無理數(shù)的存在。實(shí)際上用圓規(guī)直尺就可以用來開方，因此從自然數(shù)出發(fā)，用直尺圓規(guī)，可以作出很多的數(shù)來，這些數(shù)都叫做規(guī)矩?cái)?shù)（constructible number）。
　　古希臘的三個(gè)難題：“倍立方體”本質(zhì)上是開立方，在代數(shù)的眼光看來是解x=2；方圓問題在代數(shù)上是解πr=a，本質(zhì)上是討論根號(hào)下π，π在一世紀(jì)之前已被證明是一個(gè)超越數(shù)；“一般角之三等分”本質(zhì)上是解一元三次方程式，將角看成3θ，解sin3θ=3sinθ-4sinθ，在代數(shù)上等于解3x-4x=a。我們可以用卡丹（Cardano）公式解出來，本質(zhì)上是要開立方。我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題所解出來的數(shù)，用規(guī)矩是所作不出來的。這就是說規(guī)矩?cái)?shù)在數(shù)線并不完備。
　　前面說過：“從小學(xué)到初中；都是用代數(shù)的眼光，為了解方程式才擴(kuò)展數(shù)系”，但是由Q擴(kuò)展到R，如果說是為了解x=2這個(gè)理由是相當(dāng)牽強(qiáng)的，且讓我們說明如下：設(shè)ax+bx-1+……+k=0為一有理系數(shù)方程式，我們可以用通分的辦法使它變?yōu)檎禂?shù)方程式，整系數(shù)方程式的根叫做代數(shù)數(shù)（Algebraic number），用A表代數(shù)數(shù)全體，如果以代數(shù)數(shù)作系數(shù)的方程式的根，有不在A中的，則A必須擴(kuò)展至A1，以A1之?dāng)?shù)為系數(shù)作方程式，如仍有根不在A1中，則必須再擴(kuò)展至A2，如此下去將得：A真包含于A1，A1真包含于A2，……可是事實(shí)上代數(shù)數(shù)系A(chǔ)就已完備了，即：A=A1，換句話說，代數(shù)系數(shù)方程式的根都是代數(shù)數(shù)，這就是代數(shù)數(shù)的完備性。所以，如果說是為了代數(shù)的理由而發(fā)展數(shù)系，應(yīng)該是由Q擴(kuò)展到A；但事實(shí)上i屬于A而不屬于R；而π屬于R而不屬于A；所以A不包含于R，且R不包含于A。因此，認(rèn)為Q到R的擴(kuò)張是為了代數(shù)的理由的說法并不恰當(dāng)。
　　由有理數(shù)系擴(kuò)至實(shí)數(shù)系這是為分析的理由。在高深的數(shù)學(xué)中，說明完備性有很多的辦法，最主要的一種說法，最合乎直覺的，就是用解析幾何的數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，將所有的有理點(diǎn)點(diǎn)在數(shù)在線，此外還有很多的點(diǎn)叫無理點(diǎn)，還要將它們加入，這樣才會(huì)得到R。也就是說，有理點(diǎn)在數(shù)線上雖然密密麻麻，但不構(gòu)成全部的數(shù)線，必須把“漏洞”補(bǔ)起來，才會(huì)得到R。還有別的種種說法，如狄悌鏗分割（Dedekind Cut），它把有理數(shù)，分成兩個(gè)集A，B，A∪B=Q，A≠θ，B≠θ，且A∩B=θ，使X∈A，Y∈B→X＜Y我們可以想象有以下四種可能：
　　（1）A中有最大（元素），B中有最小（元素）
　　（2）A中有最大（元素），B中沒有最小（元素）
　　（3）A中沒有最大（元素），B中有最小（元素）
　　（4）A中沒有最大（元素），B中沒有最小（元素）
　　在有理數(shù)中，情形（1）是不會(huì)發(fā)生的，其它三種均有存在之可能。如果cut（分割）出（4）的情形，即A中沒有最大，B中沒有最小，在Dedekind看來這就是一個(gè)缺陷（gap），不完備性就是指這一點(diǎn)，Dedekind理論就是由此出發(fā)，分割到有缺陷，就補(bǔ)上一點(diǎn)，如此下去將所有缺陷都補(bǔ)起來，這就得到了R。這么一來，可從Q擴(kuò)展至R，R本身就完備了，這是實(shí)數(shù)系的完備性，也就是說我們對(duì)實(shí)數(shù)系作分割，一定沒有剛剛的缺陷，也就是“A中沒有最大，B中沒有最小”這種情形是不存在的。“A中有最大，B中沒有最小”，“A中沒有最大，B中有最小”，兩者必居其一。
　　當(dāng)然實(shí)數(shù)系的完備性還有種種說法；假設(shè)｛xn｝是一個(gè)遞增的有理數(shù)列，而且有上界，那么｛xn｝一定有極限，這個(gè)說法與Dedekind Cut有密切的關(guān)聯(lián)，也就是這個(gè)極限如果不是有理數(shù)，就要補(bǔ)上去這一點(diǎn)。學(xué)實(shí)數(shù)的完備性是學(xué)微積分的基礎(chǔ)。譬如說在討論函數(shù)性質(zhì)時(shí)，最重要的就是函數(shù)是否連續(xù)，連續(xù)性的意思是：若xn→α，則F（xn）→F（α）。實(shí)數(shù)的完備性使函數(shù)的連續(xù)性更有意義。有一個(gè)性質(zhì)：若f在［a，b］上連續(xù)，則上一定有最大值與最小值。要證明這個(gè)性質(zhì)，一定要用到實(shí)數(shù)的完備性。如果函數(shù)f（x）=（x-2）的自變量僅限于有理數(shù)中，照理f的最小值為0，也就是必須有一個(gè)無理數(shù)c=3存在，但在有理數(shù)系是沒有完備性的，所以f沒有最小值。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］復(fù)旦大學(xué).數(shù)學(xué)分析［J］.北京：高等教育出版社，2006.
　　［3］李金龍等.數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)［J］.陜西：陜西理工學(xué)院報(bào)，2003.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”