新視野下數學價值的多維審視

　　新課程改革以來，數學教育無疑也正在經歷著一場洗禮，我們深刻體會到一種諸如“思潮”般的動蕩。然而透過表面的繁華與喧囂，數學教學的平面化、技術化、淺層化逐步浮出水面，逐步遠離了作為數學本身的博大精深與文明智慧，失去了數學本身的文化意味及價值追求，令人不無憂慮地步入“邊緣”地帶。僅以《角的初步認識》一課的導入為例，一位教師是這樣導入的：教師舉起一個紅色的★，問學生這是什么?學生響亮地回答，是五角星。教師跟著問，為什么叫它五角星呢?學生不假思索，因為它有五個角。教師試圖用學生喜歡的紅色五角星來喚醒學生原有的“角”的經驗，激活學生的認知與情感需要。然而從數學本義上講，這種方法顯然值得商榷，“★”之所以被稱為五角星，是因為它五個向外凸出的“銳角”，但是根據角的概念，除了這五個銳角之外，“★”上尚有其他的角。無形之中縮小了角的外延，對學生的概念學習形成誤導。其中還關乎學科價值的取向問題，貌似科學的數學，其文化氣質和氣度遭到剝落、喪失，過分關注設計與技能層面使兒童的精神世界變得越來越狹窄，使兒童的心靈越來越走向沉重和荒蕪。更何況這則案例中，教師弄巧成拙，以經驗的認知取代科學的觀照，給學生留下了不正確的概念，這不得不引起我們的極大關注。我們必須回到原點，在對學科價值的不斷追尋中找到數學學科應有的價值與地位，并以此重新審視和指導實踐層面的數學教學。
　　一、生活視野：學會“數學地思考”
　　“上帝是按照數學原則來創造這個世界的。”與其說數學是一些結論的組合，毋寧說它是來源于生活，并從生活中提煉出的數學模型。這同時更是一種過程，一種不斷經歷嘗試、反思、解釋、重構的再創造過程。日本學者米山國藏說：“不管學生們將來從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學精神、數學思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，是隨時隨地發生作用，使他們終生受益的。”這段話說得很中肯，涉及數學的精髓，也涉及人的數學素質。我們培養的學生總不能不知感受數學之妙而體驗審美，不知感悟數學思想而學會思考。倘若他們不會用數學的眼光觀察生活、理解生活、創造生活，那我們所進行的就是如同教動物小熊做計算題的雜耍表演，而不是數學教育。數學是人類抽象思維的產物，數學的抽象性來自于豐富而生動的現實生活。它的根本特征表達了一種探索精神。因此，我們的數學教育不能忽視學科所賴以生存的現實生活，不應為數學而數學，不應為訓練而訓練，而應該把數學學習與現實生活緊密結合起來，讓學生發現數學，感受數學，繼而學會用數學的方法進行思考。我們應該牢記弗賴登塔爾的一句話“與其說是學習數學，不如說是學習‘數學化’”。以嚴密的邏輯、高度的抽象、廣泛的應用充分展示數學價值。在開發課程時，要有意識地選擇生活中的素材，讓學生學著用數學的方法去觀察、思考，嘗試為這些問題構建數學模型，最終實現現實問題的數學解決，即“數學地思考”。
　　案例一：編碼問題
　　任務是學校圖書館要設計借書卡，以編碼的方式完善圖書管理系統。如何在借書卡上反映出借書者的年級、班級、學號、辦卡時間等基本信息。師生們開始了如下的探索：
　　生1：我們設計的卡號是2009132420100517，2009表示他的入學年份。因為如果只用13來表示年級和班級的話，這張卡到王敏二年級的時候就不能用了，這樣每年都要換一張卡，太麻煩了。
　　生2：我想提個意見，既然用了入學年份，就不用1了，有兩個理由，第一，再寫就重復了；第二，到二年級的時候就不怎么好說了，所以王敏的卡號用200932420100517。
　　生3：我也有個意見，辦卡時間就不用了，因為我想既然我們是一起辦卡的，也就沒有區分的必要了，所以王敏的卡號應該用2009324。
　　師：你覺得呢?
　　生4：我覺得用卡號比較簡便，如果用漢字，要用十幾個漢字才能表示，但用卡號的話，只要幾個數字就可以表示清楚了。
　　師：確實，編碼給我們帶來很多方便，尤其是可以節省時間。你們還在哪些地方見到過編碼?
　　（學生們紛紛回答：爸爸工作服上的工號、手機號碼、電話號碼、郵政編碼、身份證號碼、商品包裝袋上、書本后面的條形碼等等。）
　　設計給借書卡編號這一實際問題，讓學生知道數學來源于實踐又反過來作用于實踐這樣一個事實。在后續片段中，又介紹了國際標準書號和中國標準書號的意義，把數學的應用功能進一步放大。課后很多學生跟我說：“數學地思考真好!”
　　二、歷史視野：根植文化厚土
　　《標準》在開篇的“基本理念”部分，對數學學科的性質作了這樣的定性描述：“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。”并在“課程實施建議”中又作了詳細的闡述，提出了具體的要求。這就意味著數學教學過程，也是傳播“數學文化”的過程。數學的教學只有放在“數學文化”這樣一個大背景中進行，才會煥發出旺盛的生命活力。馮·奧爾斯曾說，數學學習即是對由文化歷史所傳遞給我們的數學作出意義賦予的過程。數學對象的認識是一個建構的過程，而實現有意義的建構的前提是給數學的形式“意義賦予”。如何讓“意義賦予”的過程承載人類思維中生動活潑的意念，灑滿人性的光輝？我們應該讓數學學習回到歷史的源頭、思維的原點，即找尋數學的“根”，因為它是繼承與創新的支點。在小學數學教育中引領學生感悟數學文化時，應進行一種潛移默化式的、潤物細無聲式的文化浸潤和熏陶。對于小學數學課堂，可以介紹數學發展中的趣聞軼事、輝煌成就、數學家傳記、一些數學概念產生的背景、引起學生多維思考的進一步研究的問題以及與數學有聯系的諸如文學、美學、語言等領域的知識。
　　案例二：《比的意義》教學片段及反思
　　教師讓學生自己創造比號，學生創造了各種各樣的比號。
　　師：在17世紀，數學家萊布尼茲認為：兩個量的比，包含有除的意思，但又不能用“÷”，于是，他把除號中間的小短線去掉，用“：”表示。
　　生：那除號中間的小短線做了什么符號?
　　師：你這個問題提得很好，有哪位同學能夠解答這個問題?
　　生1：我想大概是做減號去了。
　　生2：我認為有可能就是分數線，因為除法和分數有聯系。
　　生1：除法跟減法也有聯系的。一個數連續減去幾個相同的數，也可以用除法做。
　　生3：我認為除號中的那根小短線是去做分數線了。因為我想減號應該比除號早出現，數學家可能也是看到了除法與減法的聯系，所以在“-”的上下分別加上-點，成為“÷”，而后來又出現了分數和比，于是除號就分解成了分數線和比號。
　　師：聽你的分析好像很有道理，你是怎么知道這些的?是從課外資料中獲得的嗎？
　　生3：不是，在他們兩個爭論的時候，我突然想到的。
　　師：原來是靈感閃現，它的真實性還沒有得到確證，數學史上關于這幾個符號的發展到底是怎樣的，給你們一個建議：利用你手頭的課外資源，例如：課外書、圖書館、網絡等好好查閱一下，下一次我們再討論好嗎?
　　感悟：盡管很多的時間花在了爭論跟本堂課內容聯系不是很緊密的符號發展史上，但我認為這樣做是值得的。討論的過程不僅激發了學生對數學的興趣和對探究數學文化的欲望，而且正漸漸引領他們走近比號的“根”。而我們知道，根是大樹的生命之本，從這個意義上來說，把根培育得生機勃勃不就等于收獲了整個生命嗎?
　　三、心靈視野：開啟美的歷程
　　羅素說，數學，如果正確地看它，不但具有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美。這種美不是投合我們天性的弱勢方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地。數學是美的!數學具有簡潔美（抽象美、符號美、統一美）、和諧美（對稱美、形式美等）、奇異美（有限美、神秘美等）等等美的特質，使數學具備了與生俱來的美的力量。數學是一種精神，一種理性的精神。數學是一種智慧，這智慧包含著數和形的美妙、具體和抽象的思辨、建設和超越的精神。數學課堂應當是數學文化流淌的地方，是學生不斷用心去觸摸數學本質、感受數學內在文化特質的自由天空。
　　案例三:《比的意義》教學片段
　　1.走進美學實驗
　　教師出示13×8、12×4、13×21、15×9、5×8、12×20、15×18、21×34的長方形，請學生投票選出最美的長方形。
　　[學生評出21×34、13×21、13×8、5×8是最美的長方形]
　　師：其實這個實驗早在100多年前，德國著名的心理學家費希納就做過了。他設計了許多各種比例的長方形做成展覽，請他的592位朋友來參觀，并投票選出最美的長方形。結果跟你們一樣，21×34、13×8、13×21、5×8被評為最美的長方形。這難道是巧合嗎?（不是）
　　2.探索美學規律
　　師：為什么在大家的心理感覺上，公認這些長方形是最美的長方形?請大家分組算出這些長方形的長和寬的比值，用小數形式表示，除不盡的保留三位小數。（0．618）
　　師：請大家記住0．618，因為它是美學史和數學史上著名的“黃金數”。很多作品之所以美麗，就是因為它的某些部分跟整體的比值等于或接近于0．618。例如維納斯女神的雕像，肚臍眼以下部分與身高的比值是0．618；芭蕾演員踮起腳尖，就是為了讓下體與身高的比值接近0．618……你還知道其他的例子嗎?同學們還可以通過課外閱讀的方式了解更多這方面的知識，如果有興趣的話，下次我們專門開一個這樣的交流會，好嗎?
　　作為一名數學教育工作者，應當從以上三個層面上來認識數學，即作為生活的數學，作為歷史的數學和作為美的數學。數學的魅力不在于數學課上的公式、計算，而在于數學方法、數學思想及其內在的數學精神。我們應該引導學生用美的眼光來欣賞數學，引導學生走進現實，走進數學的歷史長河，追尋數學的足跡，經歷數學探索，體驗數學中的理性、智慧。當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、融入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。數學知識無需終生銘記，但數學精神會激勵終生。唯其如此，基于價值視野下的數學教學，將完成“將數學窄化為課堂教學”的突圍，實現對數學課時空的全新界定。它可使數學回歸現實生活，在關注社會、關愛生命中實現數學應有的價值定位。