數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的冷思考

　　在新課程的實(shí)施過程中，某些教師對(duì)課程理念方面已有一定的理解，但在教學(xué)實(shí)踐的落實(shí)中存在著距離，在課堂教學(xué)中存在著照貓畫虎的問題，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視問題情境創(chuàng)設(shè)，輕數(shù)學(xué)化訓(xùn)練；重合作交流，輕自主探索；重學(xué)生主體，輕教師主導(dǎo)；重電腦課件演示的多媒體教學(xué)手段，輕教師的講述、提問、語言與板書等傳統(tǒng)教學(xué)媒體的運(yùn)用。這些重形式、輕實(shí)質(zhì)的教學(xué)行為雖然只是課程改革中出現(xiàn)的部分現(xiàn)象，但其影響卻不可低估。
　　
　　一、問題的提出
　　
　　一位知名的特級(jí)教師在教學(xué)“直線”的概念時(shí)創(chuàng)設(shè)了如下的教學(xué)情境：
　　讓學(xué)生直觀感受生活中的直線。出示圖片，如鐵軌、行進(jìn)的隊(duì)列等導(dǎo)入新課。
　　教師組織學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)，讓學(xué)生在教室內(nèi)排起方陣，橫豎成行，以體驗(yàn)直線公理——兩點(diǎn)確定一條直線。分別進(jìn)行以下活動(dòng)：
　?、俳處熥屢粋€(gè)學(xué)生起立，要求與該學(xué)生共線的學(xué)生起立。最后教師總結(jié)：因?yàn)槊總€(gè)同學(xué)都可以與該同學(xué)共線，所以經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線。
　　②再讓兩個(gè)學(xué)生起立，凡與這兩學(xué)生共線的起立。教師總結(jié)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。
　　③最后要求三個(gè)學(xué)生起立，凡與這三學(xué)生共線的起立。教師總結(jié)：過三點(diǎn)的直線不確定。
　　“奇文共欣賞，疑義相與析?！睆哪承┙逃龑W(xué)老師的觀念看，本節(jié)課這位教師貫徹了新課程的教育理念，如能夠注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，充分組織學(xué)生活動(dòng)，體現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)”，課堂氣氛非常熱烈，因此，給本節(jié)課帶來一片叫好之聲。然而從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析，這節(jié)課很不嚴(yán)謹(jǐn)。由于教師自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的缺失，沒有處理好情境的“數(shù)學(xué)化”。這種追求數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)以外的表演課使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變味，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來負(fù)面影響，因此是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的褻瀆。
　　
　　二、問題的分析
　　
　　首先，該教師在教學(xué)過程中沒有明確直線的本質(zhì)屬性。雖然直線是不定義的概念，從公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》以來，人們?cè)?jīng)試圖對(duì)直線進(jìn)行定義都沒有成功，但是它的一些固有屬性，如是由無窮個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續(xù)圖形；兩端可以無限延伸；很直；無粗細(xì)可言等應(yīng)當(dāng)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。其次，這位教師不了解數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境的目的，不了解情境的局限性，不能從數(shù)學(xué)認(rèn)知的角度對(duì)問題情境進(jìn)行抽象。比如，在本節(jié)課中，該教師所創(chuàng)設(shè)的直線有關(guān)問題情境和直線的概念之間存在著以下矛盾：
　　1.從有限與無限這對(duì)矛盾上：情境中描述直線的隊(duì)列是由有限個(gè)人組成；而直線是由無限個(gè)點(diǎn)組成。
　　2.從一維空間與三維空間這對(duì)矛盾上：情境是三維立體的；而直線是一維的。
　　3.從連續(xù)與間斷這對(duì)矛盾上：情境是間斷的；而直線是連續(xù)的。
　　4.從具體與抽象這對(duì)矛盾上：情境是既有寬度又有高度；而直線沒有寬度。
　　5.從特殊與一般這對(duì)矛盾上：情境只給出了一個(gè)原形；而直線是許多原形形式化抽象。
　　6.從近似與精確這對(duì)矛盾上：情境高低不平，定義粗糙不嚴(yán)格；而直線揭示概念的本質(zhì)屬性應(yīng)該是“很直”。
　　7.從現(xiàn)實(shí)與形式這對(duì)矛盾上：情境的隊(duì)列在生活中存在；而直線在生活中卻是不存在的。
　　
　　三、對(duì)問題的思考
　　
　　以上問題的存在不是個(gè)別孤立的現(xiàn)象，早在上個(gè)世紀(jì)六十年代的美國新數(shù)運(yùn)動(dòng)中，一位老師在教學(xué)“集合”的概念時(shí)，分別讓男生、女生、白人學(xué)生、黑人學(xué)生起立，說明男生、女生、白人學(xué)生、黑人學(xué)生分別組成了集合，一位學(xué)生回到家以后，父親指著一堆土豆問能不能組成集合，孩子說：“不能！除非它們都能夠站起來?！睘榱吮苊獬霈F(xiàn)上述笑話，在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境時(shí)必須做到以下幾點(diǎn)：
　　1.明確創(chuàng)設(shè)情境的目的與意義
　　所謂教學(xué)情境，是指“在教學(xué)過程中，教師出于教學(xué)目標(biāo)的需要，根據(jù)一定的教學(xué)內(nèi)容，用真實(shí)的情境呈現(xiàn)有待解決的問題”。
　　教師創(chuàng)設(shè)問題情境的目的，是把數(shù)學(xué)新知的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生生活實(shí)踐的基礎(chǔ)上，通過營造現(xiàn)實(shí)有趣的學(xué)習(xí)背景，引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)物或教具，讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)與測量，以獲得知識(shí)，用熟悉的生活實(shí)例說明數(shù)和形的特征，說明法則與公式的由來。
　　創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生有機(jī)會(huì)感悟數(shù)學(xué)：看到數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)，看到數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，感知到數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界進(jìn)行空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的猜想化、形式化的刻畫，進(jìn)而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)世界、改造世界的工具。
　　2.處理好創(chuàng)設(shè)情境與“數(shù)學(xué)化”的關(guān)系
　　數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)情境，不是說數(shù)學(xué)等同于情境，再好的情境都有它的局限性，它不像數(shù)學(xué)概念那樣準(zhǔn)確與簡潔。曾經(jīng)聽過角的概念的教學(xué)，老師出示鐘面創(chuàng)設(shè)情境，要求學(xué)生找出鐘面上時(shí)針與分針組成的角，當(dāng)學(xué)生指出時(shí)針與分針是兩條線段不能組成角時(shí)，老師只能張口結(jié)舌。與上例直線一樣，現(xiàn)實(shí)情境的有限性難以描述抽象概念的無限性，現(xiàn)實(shí)情境的離散性難以表達(dá)直線的連續(xù)性。由于數(shù)學(xué)“是忽略了物質(zhì)的具體運(yùn)動(dòng)形態(tài)和屬性的抽象結(jié)構(gòu)與模式”，教師要善于提煉情境中包含的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。
　　所謂“數(shù)學(xué)化”，簡言之，即用數(shù)學(xué)的思想與方法將實(shí)際材料組織起來。數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，重視數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系，而且特別要重視數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯聯(lián)系。正如弗賴登塔爾所說：“數(shù)學(xué)教學(xué)不要教孤立的片段，應(yīng)該教連貫的教材。”
　　創(chuàng)設(shè)問題情境的學(xué)習(xí)方式必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)、從特殊到一般、從具體到抽象。這樣既便于建立新舊知識(shí)之間的非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，又有利于感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的擬真過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考。在以上“直線”“集合”和“角”的概念教學(xué)中，都有一個(gè)從具體情境到抽象數(shù)學(xué)模式之間“數(shù)學(xué)化”的提煉過程。而數(shù)學(xué)化的過程不同程度經(jīng)歷辨別、分化、類化、抽象、檢驗(yàn)、概括、強(qiáng)化、形式化等步驟，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價(jià)值——數(shù)學(xué)化。
　　3.防止負(fù)情境
　　低級(jí)庸俗與科學(xué)性缺失的情境實(shí)際是一種負(fù)情境。我們?cè)?jīng)見過這樣的案例。
　　一位語文老師在教學(xué)唐詩，當(dāng)講到“柴門聞犬吠”時(shí)，要求學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，模仿大狗吠、小狗吠、單狗吠、群狗吠，教室中一片狗吠之聲。一位數(shù)學(xué)教師在教學(xué)《假分?jǐn)?shù)》的時(shí)候，她為了體現(xiàn)新課程“創(chuàng)設(shè)問題情境”的要求，創(chuàng)設(shè)了如下的“教學(xué)情境”：
　　師：母親的年齡大，還是兒子的年齡大？
　　生：母親的年齡大。
　　師：如果“兒子的年齡比母親的年齡大”，這是真的還是假的？
　　生：假的。
　　師：好的。既然“兒子的年齡比母親的年齡大”是假的，那么分子大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。
　　根據(jù)概念的定義規(guī)則，定義概念的外延與被定義概念的外延必須相同，否則就要違背了“定義應(yīng)該是相稱的”這一規(guī)則。從邏輯思維的角度，該教師犯了“定義過狹”的邏輯錯(cuò)誤，即屬加種差的外延小于被定義概念的外延，因?yàn)椴粌H分子大于分母的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)，分子等于分母的分?jǐn)?shù)也同樣是假分?jǐn)?shù)。如同負(fù)數(shù)比零要小，負(fù)情境要比零情境的教學(xué)效果更差。
　　此外，形式主義也是當(dāng)前創(chuàng)設(shè)情境的大忌，也是一種負(fù)情境。比如，一位老師在教學(xué)《等可能事件》時(shí)，它運(yùn)用多媒體現(xiàn)代教學(xué)手段來創(chuàng)設(shè)情境，“刻意地用電腦課件去取代學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，把學(xué)生的地位從操作主體變成局外看客，把數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性從最強(qiáng)的“實(shí)物直觀”降低為等而下之的“影像直觀”。
　　在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)需要培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、抽象能力和邏輯推理能力的時(shí)候，若用屏幕上有限的“形象”代替了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)“想象”，用屏幕上個(gè)別的“具體”取代了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)“抽象”，用屏幕上的快速推導(dǎo)，取代了板書教學(xué)中邊寫邊想師生互動(dòng)的邏輯漸進(jìn)過程，反而會(huì)減弱對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練。
　　
　　四、問題的解決
　　
　　回到開始的問題，本節(jié)課教學(xué)的直線是初等幾何的一個(gè)原始概念，是定義其他幾何概念最初的出發(fā)點(diǎn)。在D.希爾伯特的公理化體系《幾何基礎(chǔ)》中，直線是從現(xiàn)實(shí)原型中直接抽象出來的不加定義的概念。它的基本性質(zhì)是用一組公理來表述的。
　　首先，必須明確“直線”概念的教學(xué)中有三個(gè)要素：直；無粗細(xì)可言和無限延伸性?！爸薄笨梢酝ㄟ^教具演示、通過與“曲”的對(duì)比使學(xué)生認(rèn)識(shí)。比如，有位教師在教學(xué)中作如下演示：取出一根繩線，用兩手握著繩線的兩端，先使其成懸鏈線，再將它拉直，讓學(xué)生體驗(yàn)“直”。通過引導(dǎo)學(xué)生觀察墻角線以及黑板與墻面的交線認(rèn)識(shí)直線“無粗細(xì)可言”。雖然以上列舉的繩線、墻角的交線都不是直線，但通過他們的演示分別顯示了直線的部分本質(zhì)屬性。
　　除了上述教學(xué)方法外，還要進(jìn)一步增強(qiáng)直觀，增加學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐的活動(dòng)，以增強(qiáng)對(duì)“直線”概念本質(zhì)屬性的理解。可以設(shè)計(jì)如下方案：
　　1．用直尺在黑板上的兩點(diǎn)間畫線。用拉緊的粉線在兩點(diǎn)間彈線。同時(shí)，讓學(xué)生在作業(yè)本上的兩點(diǎn)間畫線。指出：這樣畫的線都是線段。
　　2．讓學(xué)生討論、交流，最后明確：線段是直的（而不是彎曲的）；線段有兩個(gè)端點(diǎn)；通過“肉包子打狗”的趣味演示：狗要獲得前面的食物，所走的路線是直線，還是曲線？為什么？由此得出“在連接兩點(diǎn)的線中，線段最短”的性質(zhì)，形象風(fēng)趣的比喻，給學(xué)生留下深刻的印象。
　　3．出示畫有各種線的卡片，讓學(xué)生辨別：哪些是線段、哪些不是。
　　4．讓學(xué)生從周圍環(huán)境里找出線段。
　　5．讓學(xué)生將畫出的線段向一方延長，再延長……告訴學(xué)生：線段向一方無限延長得到的圖形叫做射線；線段向兩方無限延長得到的圖形叫做直線。從而認(rèn)識(shí)：射線是向一方無限延伸的，射線有一個(gè)端點(diǎn)。直線是向兩方無限延伸的，直線沒有端點(diǎn)。
　　6．要求學(xué)生用直尺畫直線，過一點(diǎn)畫以及過兩點(diǎn)畫。獲得“過兩點(diǎn)只能畫一條直線”的感性認(rèn)識(shí)。這樣，可以使得學(xué)生先通過直觀教學(xué)認(rèn)識(shí)有限的圖形；然后在此基礎(chǔ)上，通過自己的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，畫圖操作和想象，認(rèn)識(shí)無限的圖形。無限的概念運(yùn)用直觀教學(xué)難以奏效，只有引導(dǎo)學(xué)生通過想象來把握。
　　因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意創(chuàng)設(shè)情境，但不能處處都強(qiáng)調(diào)機(jī)械地創(chuàng)設(shè)情境。在創(chuàng)設(shè)情境的過程中，教師應(yīng)該是“理智的引路人”，以科學(xué)的精神，用自己的教學(xué)智慧來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)能力。