好課來自困

　　當(dāng)我上了一節(jié)節(jié)充滿創(chuàng)新意味的數(shù)學(xué)課，比如《規(guī)律的規(guī)律》《分?jǐn)?shù)的意義》《三角形三邊關(guān)系》《角的度量》《游戲公平》《圓的認(rèn)識》《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》《審題》《我會用計算器嗎？》《百分?jǐn)?shù)的意義》，同行們十分羨慕和佩服。老子說：“魚不可脫于淵，國之利器不可以示人。”其實，“課”之利器可以示人，創(chuàng)新好課的方法并不神秘。
　　我的體會是：好課來自困惑，創(chuàng)新緣起問題。只要我們敢于回顧以前的教學(xué)場景，自己和同行們以往上過的課，批判地反思不自然、不真實、太零碎、欠科學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)，找出存在的問題，我們就能上好有思想價值的課。
　　一、不自然的
　　以前教學(xué)《圓的認(rèn)識》時，我們常常畫地為牢，不敢越雷池一步。新課改給了我們打破傳統(tǒng)的勇氣。不要講的，就不講；不該練的，就不練；不該課上練的，就讓學(xué)生課后練。學(xué)習(xí)本不該是重在熟能生巧，更有價值的應(yīng)該是急中生智。
　　以前我們教學(xué)圓的特征，在概括出“半徑都相等”和“直徑都相等”后，總要追問：“在這里要不要加上一句什么話?”學(xué)生不明就里，丈二和尚摸不著頭腦。尷尬無奈之下，教師從學(xué)生桌上拿出一個學(xué)生畫的小圓，比著黑板上教師畫的大圓，問道：“能說這兩個圓的半徑都相等嗎?”“不能”。“那想想在‘半徑都相等’、‘直徑都相等’的前面要加一句什么?”“噢，在同一個圓中。”“想想——還有什么可能?對啦，在等圓中。”教師趕緊找個臺階下。
　　為什么要加上前提條件“在同一個圓中或等圓中”?究竟要不要?什么時候、怎樣的人，才會看著一個大圓和一個小圓問：“這兩個圓的半徑都相等嗎?”請問：我們說“正常人的兩條腿是一樣長的”，怎么不加上前提條件“在同一個人身上”?以后再說“正方形的四條邊都相等”，還要不要加上“在同一個正方形中”呢?數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)就是這樣的嗎?要加上前提條件“在同一個圓中或等圓中”，這是不是教學(xué)內(nèi)容上的形式主義?什么是特征?是否是某一類物體中每一個個體都具備的?既然是每一個個體都具備的，那還要不要加“在同一個圓中”呢?我們?yōu)槭裁匆屪约簩擂危炎约禾走M(jìn)去呢?
　　我同樣地去質(zhì)疑——半徑和直徑的概念，是不是應(yīng)該“濃墨重彩”地去渲染?“圓”的概念都沒有給出，是否需要咬文嚼字地概括出“半徑”和“直徑”的概念?揭示兩者概念后，讓學(xué)生從一個圓內(nèi)各個不同的線段中挑出“半徑”和“直徑”，有沒有哪位老師見過學(xué)生有錯?學(xué)生都不會有錯的活動，要不要組織?
　　因此，我不再組織咬文嚼字的教學(xué)活動，而是讓學(xué)生在我當(dāng)堂畫在黑板的圓上標(biāo)出半徑和直徑。
　　師：誰能在這個圓上標(biāo)出一條半徑?
　　生(爭先恐后地)：我!我!
　　師(指名一位學(xué)生板畫后，老師和同學(xué)一起邊看邊問)：我們看他是怎樣畫的?他在找什么?
　　生(齊)：圓心。(學(xué)生畫出了半徑后，大家不約而同地為他準(zhǔn)確的畫法鼓起掌來。)
　　師：他畫得多認(rèn)真呀!誰再來畫一條直徑呢?
　　當(dāng)我在另外一個班教學(xué)時，一位女生畫直徑時，把三角尺死死地壓在圓心上。她可能沒有用粉筆畫線的經(jīng)驗，她畫的直徑將不經(jīng)過圓心。我正高興，終于可以有“融錯”環(huán)節(jié)了。哪知道她移開三角尺，發(fā)現(xiàn)了這條“直徑”沒有通過圓心，就用粉筆一圈一圈地把圓心圈大，使“直徑”通過了圓心。全場哄堂大笑。
　　“真沒有”時，就別強(qiáng)求。
　　我想：在半徑、直徑的概念上，還需要我們強(qiáng)調(diào)什么呢?現(xiàn)在我再講《圓的認(rèn)識》，畫半徑和直徑的環(huán)節(jié)也去掉了。
　　因此，現(xiàn)在我講《圓的認(rèn)識》，就創(chuàng)設(shè)了小明參加頭腦奧林匹克的尋寶活動情境：小明得到這樣一張紙條——“寶物距離你左腳3米。”想一想，寶物可能在哪呢?(稍頓)你手頭的白紙上有一個紅點，這個紅點就代表小明的左腳，用1厘米表示1米，請在紙上表示出你的想法……
　　用“是什么?”“為什么?”“怎么做?”“為何這樣做?”等四個問題做成的金鑰匙，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的探究過程，促使學(xué)生養(yǎng)成研究問題的良好意識。
　　最后再加上第五把金鑰匙“一定這樣嗎”，組織學(xué)生回頭追問：“寶物一定是在以小明左腳為圓心，半徑3米的圓上嗎?”讓學(xué)生自己由圓突破到球，認(rèn)識到圓和球的相同與不同。
　　自然的才是真的，才是最美的。
　　二、不真實的
　　以往有的教學(xué)常常教在不需要教的地方，需要教的地方反而沒有教，就像愛因斯坦說的那樣：“取一塊木板在上面尋找最薄弱的部位，在那些容易打孔的地方鉆開無數(shù)個孔。”什么是不需要教的地方?學(xué)生已經(jīng)會了，不再出錯的地方。哪里是需要教的地方?學(xué)生出錯的地方就是我們老師需要教的地方，是展示教師價值的地方，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的地方。為什么需要教的地方而我們老師沒有教呢?并不是我們教師主觀上的不作為，而是傳統(tǒng)的教學(xué)習(xí)慣使然。傳統(tǒng)的課堂里，教師往往滿足于學(xué)生的一路凱歌，陶醉于學(xué)生的一無錯處，而視學(xué)生的差錯為洪水猛獸、魔鬼毒蛇，避之猶恐不及。如果我們把學(xué)生的差錯看成難得的資源，并且成功地加以運用，那么我們的課堂就因“融錯”而有意義、有生命力!
　　關(guān)于四年級的“計算器”，以往我們會自以為是地教給學(xué)生怎樣開機(jī)、關(guān)機(jī)，認(rèn)識數(shù)字鍵、運算符號鍵、顯示屏，會板書按鍵的程序框圖。其實，這些都不需要教。我在北京做過調(diào)查，95％的三年級小學(xué)生都會使用計算器。但是學(xué)生很會“配合”，開始裝作不會，聽老師講授。其實，師生雙方都心知肚明，講的沒味，聽的沒勁，但都在“盡職”。是回避，還是引導(dǎo)?幾經(jīng)思考，我確定了“計算器”的教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生體會到什么時候該用計算器什么時候不該用，知道怎么看待計算器顯示的結(jié)果，糾正學(xué)生對計算器的錯誤認(rèn)識，介紹給學(xué)生兩個非常有用但還不知道用的功能鍵，享受借助計算器而超越計算器的快慰。老師的價值體現(xiàn)在學(xué)生使用計算器過程中出現(xiàn)問題的指導(dǎo)上。
　　課始——
　　師：(在黑板上貼出一張計算器圖片)認(rèn)識這個嗎?
　　生：(齊)認(rèn)識!計算器。
　　師：是啊，地球人都知道。那你在哪些地方看到過呢?
　　師：(抬腕)我這個手表上也有。能說得盡嗎?
　　生：說不盡。
　　師：在我們的身邊，計算器是無處不在的。那么……(老師的話語停住了，開始板書，和黑板上的圖片組成一句話：“我會用計算器嗎?”在老師板書的時候，每一個學(xué)生都隨著每一筆板書猜測老師要寫的字。)
　　師： 問問自己。
　　生：(齊)我會用計算器嗎？
　　師：會嗎?
　　生：(胸有成竹，異口同聲地)會！
　　師：真的會嗎?
　　生：真的會!
　　師：(風(fēng)趣地)那我要下崗了，這堂課不用上了。都會啊?那行，就考考你自己吧。這里有三道題——
　　①57734+7698=②56÷7=③2345-39×21=
　　師：看看你自己是不是真的會用計算器，看誰算得又準(zhǔn)又快，開始。
　　(學(xué)生開始用計算器計算。)
　　師：第一道題等于多少?
　　生：65432。
　　師：第二道題不用說了是吧。第二道題有用計算器的嗎?(有用了的，有沒用的，都有。)
　　師：第三道題呢?
　　生1：1526。
　　生2：48426。
　　師：究竟哪個答案對呢?
　　生：我們的答案是1526。
　　師：大家都認(rèn)為1526是對的，其實也就是這種做法。(課件出示：③2345-39×21=2345-819=1526)
　　生1：其實48426也是對的。不過，可能她的計算器是算術(shù)型的，不知道先乘除后加減。
　　師：是誰不知道先乘除后加減?
　　(眾生看著報出“48426”的同學(xué)，語氣中有些諒解：“是她。”也有個別同學(xué)說：“是計算器。”)
　　生2：因為如果是科學(xué)型計算器的話，應(yīng)該知道先算39×21；要是普通型的話，按順序輸入就會先計算2345-39的得數(shù)然后再乘31，所以得數(shù)是48426。
　　
　　師：(恍然大悟狀)噢，真佩服!大家的計算器可能大多數(shù)不是科學(xué)型的，不是聰明型的，而是傻瓜型的，就像傻瓜照相機(jī)一樣。傻瓜型的計算器就會按輸入順序計算，算出來的結(jié)果就是48426。我很贊同剛才這個同學(xué)的分析。其實開始出現(xiàn)這個結(jié)果的時候，我們還可以用估算來分析一下，是不是?誰來說說怎樣用估算來判斷?
　　生1：先把2345約等于2300，然后把39約等于40，2l約等于20，20乘40等于800，2300-800=1500。
　　生2：還可以更簡單地估算。2345減去一個數(shù)不可能大于2345。
　　(報出“48426”的同學(xué)羞愧地點點頭。)
　　師：看來估算挺有用的，關(guān)鍵是我們要養(yǎng)成用計算器計算之前或之后估一估的習(xí)慣。那么這幾道題做完以后，你有什么想法?有沒有學(xué)到些什么……
　　師：好了，現(xiàn)在會用計算器了嗎?
　　生：會了。
　　數(shù)學(xué)教學(xué)是基于學(xué)生的。課始呈現(xiàn)的三道題，蘊涵著多重的價值：第一，鼓勵學(xué)生自己嘗試使用計算器，暴露學(xué)生的認(rèn)知起點。第二，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)新的操作的愿望，教師在需要教的時候提供“強(qiáng)有力”的幫助。第三，將計算器與估算、心算等相結(jié)合：簡單的計算不必使用計算器，估算能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)計算器使用中的錯誤。人們在生活中是十分相信計算器的，甚至是“迷信”，但計算器算出來的結(jié)果一定對嗎?
　　在全班同學(xué)都胸有成竹地認(rèn)為“我會用計算器”的情況下，卻有不少同學(xué)出錯了。這時的差錯是提醒，學(xué)生們立刻來了興致。
　　不知道什么時候該用計算器，不該用時都用了，能算會嗎?不知道計算器還有聰明型與傻瓜型之分，能算會嗎?孔子說：“工欲善其事，必先利其器。”遇上混合運算，只會一步一步地把計算器算出的得數(shù)記下，面對計算器上的M+、MR鍵卻視而不見，能算會嗎?考慮到可能有學(xué)生用“倒減”的方法來解決記憶中間數(shù)的問題，我預(yù)設(shè)了一道練習(xí)題“20655÷(27×45)= ”，對全班同學(xué)是鞏固，對提出“倒減”的同學(xué)還是醒悟：“凡事都是有利有弊的”……“我唯一知道的便是我的無知”，課堂上的學(xué)生，對手中的計算器懷有了更多的好奇和探究的沖動。而這種“無知之知”，卻不是由教師明白無誤地告知，而是在教師巧妙的設(shè)計和不露痕跡的引導(dǎo)中學(xué)生體會到的，因而這種“無知之知”不會讓學(xué)生產(chǎn)生焦慮或羞愧，而是引發(fā)學(xué)生“愛智慧”。
　　課尾——
　　師：我們來挑戰(zhàn)一下自己，好不好?(板書：22222222×55555555=)
　　生：(埋頭苦算中……有的在抱怨說計算器容不下，有的很快算出了結(jié)果。)
　　師：誰來說說結(jié)果?
　　生1：1．234567877E15
　　生2：1．234568E15
　　生3：1．23456787715
　　師：誰還有其他的結(jié)果?
　　生4：1.234567877×1015
　　師：用普通計算器的有沒有結(jié)果?
　　生5：E12345678
　　生6：E1234567876
　　生7：1．234567815
　　生8：12345678E
　　師：還有結(jié)果?不用再報結(jié)果了。你有什么疑問嗎?
　　生1：怎么會有這么多不同的結(jié)果?
　　生2：大家用的計算器不一樣，結(jié)果也就不一樣。
　　生1：難道這么多結(jié)果都是對的嗎?
　　師：是啊，說了這么多結(jié)果，哪個才是對的呢?
　　生：(迷茫地)不知道啊。
　　生：都不對，二五一十，末位應(yīng)該是0。(同學(xué)們紛紛點頭贊同，還有同學(xué)補(bǔ)充“這兩個數(shù)乘起來也不會是1點幾啊”。)
　　師：那正確的結(jié)果究竟是多少呢?現(xiàn)在我們能不能把正確結(jié)果找出來呢?前后四個同學(xué)組成一小組想想辦法吧。(學(xué)生小組討論了兩分鐘。)
　　師：商量了，現(xiàn)在找到辦法了嗎?
　　生：(垂頭喪氣地)沒有。
　　生1：我覺得用2×8的結(jié)果乘以5×8的結(jié)果。
　　(同學(xué)們先是愣住了，接著少數(shù)學(xué)生笑了。)
　　師：好，大膽的想法!那現(xiàn)在大家一起算一下。
　　生(齊)：640。(笑的人更多了，聲音更響了。)
　　生1：我錯了。
　　師：哦，他自己就發(fā)現(xiàn)錯了。不過，我很佩服這位同學(xué)，在計算器沒法算的情況下，他想到動腦子了!(老師帶頭鼓掌，學(xué)生們也鼓起掌來。)
　　生：(急切地、興奮地)可以口算，二五一十，二五一十，8個二五一十，所以得數(shù)是111111110。(老師沖她點頭，少數(shù)同學(xué)為她鼓掌。)
　　生1：不對，8個2乘8個5的得數(shù)應(yīng)該是15位或者16位數(shù)。(老師向他豎起大拇指，示意同學(xué)們繼續(xù)思考。又等了十幾秒鐘，學(xué)生似乎仍然摸不著頭腦。)
　　師：看來我們是山窮水盡，找不到路了，是吧?
　　生(齊)：嗯!
　　師：(神秘地)我有祖?zhèn)髅胤健?br/>　　……
　　師：算完以后，你現(xiàn)在有什么想法?
　　生：我覺得看起來這個數(shù)字很龐大，用計算器算不太可能，但是掌握了這里面的技巧，這么大的數(shù)用腦子就可以算出來，說明計算器不是萬能的。
　　生：這么大的數(shù)據(jù)在計算器上卻是不正確的，然而用人的智慧卻可以算出準(zhǔn)確的答案，可以說人比計算器更聰明。
　　師：說得好不好?
　　生：好!(鼓掌)
　　師：剛才有個同學(xué)問得特別好，他想：為什么是這樣的一個規(guī)律啊?來，一起把這個結(jié)果說出來。
　　生(齊)：1234567876543210。
　　師：其實這個竅門是我們的祖先老子告訴我的。(課件出示：天下難事，必作于易，天下大事，必作于細(xì)。——老子)
　　生：(齊讀。)
　　師：(板書：天下難事，必作于易)由容易的入手，我們先借助計算器發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用規(guī)律去解決用計算器不能直接解決的問題。借助計算器而超越計算器，我覺得是使用計算器的很高境界。行了，孩子們，再問問自己。(手指課題)
　　生：(自豪而有意味地齊聲問道)我會用計算器嗎?
　　師：這節(jié)課，我們一遍一遍地問自己，“我會用計算器嗎?”同學(xué)們的回答總是“會”，從后往前看，其實都不能算完全的“會”，但從前往后看，確實都是“會了”，不過“會”的水平是越來越高了，真是應(yīng)了那四個字——(板書：學(xué)無止境)。下課。
　　根據(jù)大家熟知的“對稱的數(shù)學(xué)金字塔”：
　　1×1 =1
　　11×11 =121
　　111×111 =12321
　　1111×1111 =123432l
　　……
　　我加工成了“22222222×55555555=？”，可以說是苦心孤詣。這樣的題更富有挑戰(zhàn)性，恰到好處地滲透了“化難為易，化繁為簡”的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)美妙的同時為學(xué)生的曲徑通幽預(yù)埋了伏筆。
　　計算器顯示出的錯誤答案，就像一塊此路不通的“路標(biāo)”，指引學(xué)生另辟新道；同學(xué)“640”的錯誤答案，是一種啟發(fā)，啟發(fā)同學(xué)們?nèi)ヌ綄?shù)與數(shù)之間的關(guān)系；“11111110”可以說就是一種進(jìn)步，是老師預(yù)設(shè)的，但可以說是前一個差錯撞擊出的；出乎意料的豎式，又可以說是受“111111110”的提示。
　　另外，我還設(shè)計了一道“試一試：999999999×999999999
　　=?”，以鞏固“化難為易，化繁為簡”的轉(zhuǎn)化方法。
　　三、太零碎的
　　教學(xué)《角的度量》時，我們總是先帶著學(xué)生認(rèn)識量角器：中心點，零度刻度線，內(nèi)圈度數(shù)，外圈度數(shù)。不同版本的教材上都是先量角后畫角。
　　這節(jié)課到底要認(rèn)識量角器的什么?我回憶起學(xué)生拿著量角器手足無措的樣子，往往是用量角器的直邊和圓弧夾的角比在要量的角上。原來學(xué)生找不到量角器上的角!因此，我讓學(xué)生討論這是不是角，能在量角器上找到角嗎？我大膽地想：能讓學(xué)生先在量角器上畫角然后再量角嗎?進(jìn)而，我再追問：“量角的本質(zhì)是什么?”“重合。”如果學(xué)生在量角器上清晰地找到角了，量角的問題就能迎刃而解。因此，我決定讓學(xué)生在量角器上畫角，再交流有沒有不同的角，這樣順勢就可以介紹“中心點”、“0度刻度線”、“內(nèi)外圈刻度”、1度的角、度數(shù)的寫法等。
　　我根據(jù)學(xué)生簡單地用量角器的尖角比著要量的角，順勢組織學(xué)生討論那個尖角是不是角，然后創(chuàng)造性地讓學(xué)生在量角之前，先在紙質(zhì)量角器上畫角，學(xué)生明白了量角器上有若干個大小不同的角，“抓大放小”地認(rèn)識了量角器之后，順其自然地揭示量角的本質(zhì)，從而讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然。
　　在復(fù)印機(jī)上排好四個量角器，一摁鍵出來了紙質(zhì)量角器。紙質(zhì)量角器這一素材的產(chǎn)生，就是順應(yīng)了學(xué)生認(rèn)識量角器的規(guī)律，揭示了認(rèn)識量角器的根本。
　　四、欠科學(xué)的
　　教學(xué)《游戲公平》，教材上是通過拋硬幣的實驗讓學(xué)生認(rèn)識可能性。可是這樣的實驗不用做，做了往往不可收拾。讓學(xué)生拋10次硬幣，有的8次正面，2次反面；有的9次反面，1次正面……大組合計之后，正反兩面的次數(shù)仍然存在較大差距。張老師課堂上是這樣，王老師課堂也是如此。小概率事件為什么成為大概率事件?
　　原來，我們只規(guī)定了學(xué)生拋的次數(shù)，沒有規(guī)定拋的高度、角度、力度。學(xué)生高高地拋出第一次后，滿地找硬幣，以后他就接受教訓(xùn)，低低地拋了。而把硬幣拋l米高和拋l厘米高，結(jié)果當(dāng)然不可同日而語。
　　找到問題之后，沒有能找到解決問題的辦法，我請教了北師大呂建生博士，他說可以把硬幣裝在礦泉水瓶里搖。后來，我再嘗試用營養(yǎng)快線飲料瓶、小酒杯、水杯等，最后選用了學(xué)生小手可以抓得住的小水杯。
　　“反者道之動，弱者道之用。天下萬物生于有，有生于無。”(老子語)經(jīng)過思考、尋找，我結(jié)合北京奧運會素材，創(chuàng)設(shè)了拋啤酒瓶蓋的實驗，讓學(xué)生喜歡上“數(shù)據(jù)”，贏得了大家的贊許。華東師大張奠宙教授說：“聽完華應(yīng)龍老師的課，很為他的創(chuàng)新精神所折服。”
　　“人法地，地法天，天法道，道法自然。”(老子語)創(chuàng)新，當(dāng)回顧以往的教學(xué)，找到存在的問題。不自然、不順暢、不舒服的地方就是應(yīng)當(dāng)改進(jìn)的。
　　課堂上的種種創(chuàng)造，讓我體悟到：創(chuàng)造是對前人的揚棄，更是對自己的超越，對自己的成全。課堂是學(xué)生的，就應(yīng)該從學(xué)生的實際需要出發(fā)。我們真要扮演學(xué)生成長中的“重要角色”，就要不斷豐厚自己，力求達(dá)到在學(xué)生眼中“我就是數(shù)學(xué)”。