數學教學中的思維“設坎兒”藝術

　　數學是思維的體操，“有沒有思維含量”是衡量數學教學活動是否有效的重要標準。數學教師的任務就是創造一切條件引領學生展開生動活潑的數學思維活動。那么如何才能促使學生有效地展開思維活動呢？關鍵看教師給學生提供的學習材料有沒有思考的價值，如果材料太容易學生不假思索就能解答便失去了思維的價值。因此，教師要給學生的思維活動適當地“設坎兒”，通過逾越一定的障礙使其“跳一跳摘桃子”，讓學生在思維的“最近發展區”開展學習活動。教師在“設坎兒”時要注意難易適度，既要有一定的挑戰性，又不能使它成為不可逾越的障礙，關鍵要通過巧設認知沖突，激起學生思維的欲望，使思維不斷向縱深發展。下面從數學認知流程視角出發，談談怎樣在學生學習活動的關鍵處，精心設個“坎兒”，使學生在不斷克服思維障礙的過程中理解和掌握知識。
　　一、在情境導入中“設坎兒”——激起思維欲望
　　學生對所學內容有沒有興趣直接關系到學習的效果，激發學生的學習興趣有很多種手段，有些是外部激勵，有些是內在驅動。筆者認為，最能激起學生思維欲望的動力來自于充滿疑問和問題的情境。因此，在導入環節教師要在給學生提供的學習材料中精心創設一個問題情境的“坎兒”，即在教材內容和學生求知心理之間創造一種“不協調”，把學生引入一種與問題有關的富有挑戰性和思考性的情境之中，使他們對所學內容產生濃厚的思維興趣。
　　例如，一位教師上“圓的認識”一課，剛上課就出示了一幅彩色自行車的掛圖（掛圖上自行車兩個車輪用白紙蓋住），然后問學生：這幅掛圖上畫的是什么？學生說：自行車。教師說：老師送給你們要不要呀？學生齊刷刷地說：要！接著教師把遮蓋車輪的紙扯開，學生笑了。教師問：你們為什么笑呀？學生說：兩個輪子是正方形的，這樣的自行車騎不動。老師再把正方形車輪扯開，學生又笑了。老師問：你們為什么又笑呀？學生說：兩個輪子是橢圓形的，這樣的自行車騎上去會跌倒。最后教師把橢圓形的車輪扯開，一輛美麗的自行車展現在學生眼前。教師問：現在行了嗎？學生說：可以了。教師追問：為什么自行車的輪子要是圓形的呢？教師精心設計的這個“坎兒”使學生展開了積極的思維，探索“圓的特征”的活動在強烈認知沖突的驅使下拉開了序幕。
　　二、在探索新知中“設坎兒”——引領思維內化
　　真正有意義的學習，不是被動接受現成的書本知識，而是在教師的引領下，學生以積極的心態，在自己已有知識經驗的基礎上對新問題進行主動探索，不斷建構的過程。在建構新知時，關鍵是讓每個學生根據自己的體驗，用自己的思維方式自由地、開放地去探究，去發現。在該認知階段，學生的思維特點主要是在前面初步感知的基礎上，通過一系列的感悟發現等活動，促使思維內化，形成新的認知結構。因此，教師可以根據教材內容特點和學生經驗基礎，為學生的思維道路精心布置一道“坎兒”，使他們通過一系列富有挑戰性的“跨坎兒”活動，透過表面現象，認清所學知識的本質特征，從而將新知內化到已有的認知結構中去。
　　例如，學習“能被3整除的數的特征”時，先出示一組數：33、36、39，問學生：這些數能被3整除嗎？（能）能被3整除的數有什么特征？不少學生由于受“能被2、5整除的數的特征”的負遷移，誤以為能被3整除的數的特征就是個位上數是3、6、9。此時教師出示另一組數：13、26、49，問學生：這些數能被3整除嗎？（不能）那么能被3整除的數的特征是否就是個位上是3、6、9的數？（不一定）在教師精心布置的這道“坎兒”中，學生的新舊認知產生了矛盾沖突，引發了深入探究的強烈欲望。此時教師引領學生展開“跨坎兒”的活動，圍繞著“能被3整除的數跟什么有關系？”“能被3整除的數有什么本質特征”這些問題，進行了一系列的思維內化活動，通過正反材料的對比判斷，最終學生發現了能被3整除的數的特征跟各個數位上的“數字之和”有關（看數字之和能否被3整除），從而修改完善了原先的認知結構。
　　三、在鞏固練習中“設坎兒”——推進思維深化
　　當學生將新知納入到已有的認知結構中后，接下去要通過練習進行鞏固應用。練習一方面要起到鞏固新知的作用，另一方面要在練習環節為學生提供一個再創造、再發展的機會，使學生的思維得到深化訓練，從而培養學生思維的靈活性和創造性等品質。為此，數學教師要深入地鉆研教材，挖掘練習中的深化點，根據所學知識的特點，精心給學生設計一道思維訓練的“坎兒”，以這些富有挑戰性的障礙，在練習階段再次激起學生思考的欲望，引領學生積極主動地展開思維活動，自覺地發現其中的規律。教師設計的這些“坎兒”是否有思考價值和引領逐步深化作用是衡量數學練習是否有效的重要標準。
　　例如，學習了“分數大小的比較”后，一位教師設計了一道思維訓練題：寫出一個比大、比小的分母最小的最簡分數。有些學生這樣思考：因為=，=，所以答案為。教師引導道：“這是分母最小的嗎？請將和化成小數去比較一下。”學生通過計算發現：=0.8571……，=0.875，可以取0.86=，這個分數的分母比前一個要小。教師繼續引導學生思考：50就是最小的分母了嗎？這時，有個學生站起來說：“因為=，=，所以取。”不少同學對這一結論持懷疑態度，教師及時抓住這個思維深化的“坎兒”，引領學生展開跨“坎兒”活動：首先讓大家去驗證一下，通過驗證發現確實比大而比小，而且找不出比它更小的分母了；教師追問道：“13是怎么得到的？（分子相加6+7）”“15又是怎么得到的？（分母相加7+8）”教師趁熱打鐵引導學生：“這是否是一個普遍的規律呢？”學生舉出了許多例子來驗證：＜（）＜，＜（）＜，＜（）＜……，從而歸納出這類題目的解題規律。為了讓學生信服這一規律，教師將課內探究拓展到課外，繼續激發那些學有余力的學生課外通過家長、老師的幫助去證明這一規律。
　　四、在反思小結中“設坎兒”——促使思維升華
　　課堂小結環節是對所學知識與方法的梳理和提煉，它一方面是對學習結果的總結與強調，另一方面是對自己學習過程的回顧與反思，通過提煉使思維在原有基礎上再提升一步。新課改背景下的數學學習觀強調學生要真正成為學習的主人，應該學會總結與反思，只有學會自覺管理、調控自己的學習，不斷了解自己的學習過程和特點，改進自己的學習策略和方法，才能最終達到有效地實現對當前所學知識有效建構的目的。因此，數學教師在小結環節要再為學生精心設計一些“坎兒”，在這些“坎兒”的引領下，使學生展開提煉所學新知及總結獲取新知的方法等思維活動，并將這些思想方法和策略自覺地應用于后續學習之中，使知識與方法實現有效遷移，思維得到不斷升華。
　　例如，學習“長方體和正方體的特征”一課，當進行全課小結時，教師給學生設置了這樣一道“坎兒”：課件出示一個長方體和一個正方體，想一想怎樣把這個長方體變成一個正方體？又怎樣把這個正方體變成一個長方體？請大家先閉上眼睛想象，接著進行課件演示，邊觀察邊反思：我們是怎樣學習長方體和正方體特征的？它們之間有怎樣的關系？學生通過動態觀察和回顧學習過程，進行了總結：長方體和正方體都有6個面、12條棱、8個頂點，面的形狀一般是長方形，相對的面的面積相等，相對棱的長度相等；當長方體的長、寬、高變得一樣長時，長方體就變成了正方體，就會出現6個面都是正方形、6個面的面積都相等、12條棱的長度也都相等這些特殊的特征；而當正方體的長、寬、高調整成不完全一樣長時，正方體又變回了長方體，面、棱方面只具備一般的特征了；通過轉化發現長方體的特征正方體都有，而正方體的特征長方體不一定有，所以長方體應該包含正方體，正方體是長方體里面特殊的一部分。通過這樣的反思總結，學生不但系統地整理了長方體和正方體的特征，還學到了“特殊與一般”這種辯證思維的方法。
　　總之，如果教學中依據教材特點和學生心理特征，在學習活動的關鍵處，給學生精心設個思維的“坎兒”，適時挑起學生的認知沖突，使他們經歷思維的繭縛、沖撞、蛻變后，就會迎來“茅塞頓開”的通透之感，從而實現數學認知與思維發展的雙豐收。
　　（作者單位：浙江省武義縣三港鄉中心小學）
　　（責任編輯：郭敬燕）