創建問題連續

　　在哈佛大學師生中流傳著這樣一句名言：“The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions.”(教育的真正目的就是讓人不斷地提出問題、思考問題)。問題是思維的起點，解決問題固然重要，但善于提出問題更是眾矢之的。數學的核心就是問題，數學因問題而生，教學有著以解決問題為核心的特征。學科教學中，通過師生構建問題連續體，以問題驅動教學，讓學生經歷數學知識的再創造，學生提出問題、解決問題的能力自然會逐步提高，同時學生的思維能力也會得到提升。
　　從學生的認知過程和思維過程來看，對于一個問題的徹底解決，一般要經歷三個階段：第一，對問題的理解，產生解決問題的假設；第二，對問題的解決，針對假設進行論證或驗證；第三，對問題的反思，將具體問題形式化。要成功地解決問題，這三個階段缺一不可，將“問題”滲透到數學的教學過程之中，學生的思維能力就會在問題解決中不斷提高。鑒于此，教師在日常的教學中，需要從三個層面培養學生的“問題”意識。
　　一、依托學生實情，精心設計問題
　　數學教學需要揭示數學的本質，教學中要講道理，更要講推理，努力把數學的學術形態適當地轉化為學生易于接受的教育形態?！皩W起于思，思源于疑”，學生的思維參與往往是從理解問題開始的，故此教學問題的設計在符合知識本位要求的同時，還要考慮到學生學習的“最近發展區”，只有這樣，問題的提出與解決才會對課堂教學的推進起到關鍵作用。問題的設計不僅需要從角度、難度、跨度和廣度等方面啟迪學生思維，使學生的思維活動逐漸由已知引入未知，達到釋疑、解惑的目的，還要隨著教學過程的展開成為一個連續的過程，并形成幾個高潮，不斷激發學生的學習動機，使學生處于“憤悱”的狀態。要盡可能提供給學生思考、探究的時間和空間，因勢利導，適時進行學法指導，積極主動、勇于探索的學習方式才可能落到實處，實現知識的遷移和能力的飛躍。
　　案例1：在人民教育出版社新課改數學教材必修4“正弦、余弦函數的圖像”一節的教學中，考慮到學生課前知識儲備和數學思維基礎的實情，為達到本課時的三維教學目標，整節課在借用“裝滿細沙的漏斗做單擺運動時，沙子落在與單擺運動方向垂直運動的木板上的軌跡”形成正弦、余弦函數圖像的感知后，僅僅設計兩個教學問題就可以完成整個教學過程。問題1：如何做出正弦函數的圖像？發散性問題的提出，自然給學生提供了較為寬廣的思維空間。學生間的相互啟發，教師的點撥評價，很快就出現了“對話式”的教學場景。學生在問題的探討中，先后提出了計算機作圖，特點是快捷、準確、欠缺過程；描點法作圖，特點是費時、粗略、難于計算數值；幾何法作圖，依據是建立單位圓中的正弦線與函數圖像間點的關系。當然，本問題的提出重點在師生探討如何利用正弦線做出正弦函數的圖像。問題2，如何做出余弦函數的圖像？在上面三種做法的基礎上，學生通過對前面所學習的三角函數誘導公式的回憶，提出了第四種得到余弦函數圖像的方法，依據誘導公式：，將正弦函數圖像向左平移個單位得到。正是上面兩個教學問題的依次提出，學生在合作探究、質疑展示中才很好地完成了一節課的教學任務。
　　二、傾聽學生反饋，細心捕捉問題
　　傳統教學中，教學以我為中心，以教參為中心，以標準答案為中心，在“自己設立的問題”模式中，認為學生的回答完全落入教師設計的軌道，這樣的教學過程便是成功。新課程改革帶給課堂一縷清風，教師要秉承“以人為本”的教育理念，努力成為學生學習的指導者與合作者。課堂教學中，教師不僅要關注學生對自己提出的問題回答得正確與否，重要的是能否善于分析出學生問題反饋中錯誤的歸因。哪怕是學生給出問題的答案超出預想，教師也大可不必立刻表明否定態度，俯下身子挖掘到學生問題構想的障礙更是難能可貴。因此，課堂中不僅要注意預設問題的解決，同時要關注課堂生成性問題的處理。教師對課堂富于價值性問題的捕捉與延伸，信手拈來，為我所用，這正是教學的科學性和藝術性所在。
　　案例2：在上面的教學案例中，本節課的教學難點是引導學生借用單位圓中的正弦線做出正弦函數圖像。這個教學環節一定是由師生共同完成的。在教學的實施中，我預設的教學課件是將單位圓等分12等份，分別做出各個角度的正弦線，通過線段的平移得到一些特殊角的正弦值。而學生王某揚言要將單位圓等分10份，這與我的課前準備顯然不一致。從教多年的睿智讓我繼續追問學生如何運用尺規平分圓周得到360°角的問題。假若不能順利將圓周角10等分，就無法通過度量得到相應角的正弦值。學生既而認識到了這樣等分顯然不是很合理。雖是簡單的一句追問，這里既體現出對學生話語的尊重，還達到了學生自己修正問題答案的效果。通過師生間的平等對話，很快就確定了通過正弦線做出函數圖像的基本步驟。（1）建立直角坐標系，在直角坐標系中y軸左側畫單位圓。（2）把單位圓分成12等份，過單位圓上的各點作x軸的垂線可以得到對應于角的正弦線。（3）確定橫坐標：把x軸上從0到2π這一段分成12等份。（4）確定縱坐標：將正弦線對應平移，指出相應的12個點。（5）連線：用平滑的曲線將12個點依次從左到右連接起來，可得圖像。借的圖像，通過正弦線“周而復始”（依據是誘導公式，其中）的變化規律得到正弦曲線。在教學反思中我寫到，正確面對課堂教學中發生的“意外”，只要引導得當，將課堂還給學生，便可以較好地培養學生探究數學的興趣和能力。教師思維的機智靈活，往往換來的是學生的驚人發現。
　　三、激活學生思維，匠心善待問題
　　著名教育家布魯巴克指出：最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是學生自己提問題。有些教師總愛以講為主，教學“一言堂”的出現頂替了學術探討中的“百家爭鳴”。如何善待提問，早在《學記》中就有論述：善待問者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，然后盡其聲。不善答問者反此?！吧拼龁枴保墙處煂W生的最大鼓勵，也是對學生的希望與信任。只有把課堂當做思想交流的對撞場所，學生才能“肆無忌憚”地提出質疑，甚至否定，教師也才能善待學生在教學上的挑戰。依建構主義的觀點來看，知識必須通過學生的主動建構才能獲得。所以，課堂應成為教師與學生、學生與學生“思維碰撞”的場所，只有把認知因素與非認知因素有機結合起來，充分調動學生認知的、心理的、生理的、情感的、行為等方面的因素，讓學生進入一種全新的境界，學生“問題”的意識才能自覺。
　　案例3：在人民教育出版社新課程數學教材必修1“函數的單調性”的教學中，我設計的問題是：以函數y=x+1為例，如何量化說明“y隨x的增大而增大”？問題的提出，便給出學生較為開放的探索空間，隨著學生的深入探究，提出了漸為完備的解決方案。學生為表述y隨x的增大而增大，借了圖像上多個孤立變量x值的增大：x值依