《數學通報》1898號問題的簡解及應用

● (浙江師范大學初陽學院 浙江金華 321004)

《數學通報》1898號問題的簡解及應用

●徐杭(浙江師范大學初陽學院 浙江金華 321004)

《數學通報》2011年第3期刊登了郭富喜老師提供的1 898號問題的解答，過程有點繁瑣，方法不易想到.現筆者提供如下的一種簡解.

原題求值：(tan85°-tan5°)(tan80°-tan10°)(tan75°-tan15°)(tan70°-tan20°)(tan65°-tan25°)(tan60°-tan30°)(tan55°-tan35°)(tan50°-tan40°).

簡解先對第1項進行化簡，得

同理，其他項化簡后，依次為2cot20°，2cot30°，2cot40°，2cot50°，2cot60°，2cot70°，2cot80°.結合公式cotα·cot(90°-α)=1得

原式=28(cot10°cot80°cot20°cot70°cot30°cot60°cot40°cot50°)=28=256.

本題的簡解，其實就是應用了三角函數解題中的“切割化弦”方法,即將題中出現的正切、余切函數，正割、余割函數化為弦函數(正弦、余弦函數).常用的公式有：

活用切割化弦方法，對三角函數的解題有很大幫助.下面舉例說明之.

例1求cot80°+csc40°的值.

由

得

2sin(x1+x2)>0,cos(x1+x2)>0,0

從而

0

由此得

結合

得

即

以上3個例題都充分利用了切割化弦以及和差化積與積化和差公式.但是在求三角函數問題時，也不一定是一遇到“切”和“割”就立刻全部化成“弦”進行求解.而是要注意審題，切割化弦應把握一定的度.下面一個例子可供參考.

例4求值：cot15°cot25°cot35°cot85.

解原式=tan75°tan65°tan55°tan5° =

tan75°tan15°=1.