注重“一題多解、一題多變” 追求有效教學
——記一堂高三復習公開課及教學反思

●(臺州中學 浙江臺州 317000)

注重“一題多解、一題多變”追求有效教學
——記一堂高三復習公開課及教學反思

●畢里兵(臺州中學 浙江臺州 317000)

中學數學的課堂教學非常注重有效教學，無論是高一、高二的新課還是高三的復習課，有效教學都是熱點和重點．課堂教學的40分時間如何高效、有效地發揮，這是一個難題.課堂的引入、問題的拋出、例題的講解、習題的布置以及作業的合理選擇等必須有效設計，才能讓課堂有效．數學課堂教學的核心是培養學生的數學思維，高質量的數學課就必須注重數學的特征，尤其是在解題中注重連通性、變通性，才能讓學生有所感有所悟．而要在這方面做得有效，筆者認為例題教學尤其是對應的變式教學非常重要．筆者有幸參加了當地高三數學有效性教學的公開課，就課堂教學中“如何才能更有效地讓學生領悟數學思想，活用數學解題方法”，做了“一題多解、一解多題”與“一題多變、一變多題”教學方式的大膽嘗試，受到了廣泛好評，在此與讀者共享．

1 案例回顧

和通常的復習課一樣，本著“低起點、高要求”的目標，先拋出一個常見的有關二次函數恒成立的問題：

例1已知函數f(x)=x2+ax+3-a，a∈R.

(1)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍；

(2)若f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，求a的取值范圍．

(對于第(1)小題，學生利用一元二次不等式的解法可直接作答.)

1．1 函數思想

師：f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立等價于什么？

生：f(x)在[1，2]上時f(x)min≥0．

師：那么，如何求f(x)在[1,2]上的f(x)min呢？

生：利用對稱軸與區間[1，2]的位置關系來分類討論.

(以下過程由學生口述，教師板書.)

綜上所述，a≥-7.

1．2 方程思想

解法2f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立即f(x)=0有且只有以下4種情況：

(1)無實根：Δ<0，即-6

(3)在(-∞,1]上有2個根：

故

a≥2.

(4)在[2,+∞)上有2個根：

故

-7≤a≤-6.

綜上所述，a≥-7.

(學生甲剛說完，學生乙就站起來了.)

學生乙：可用參變分離方法．

1．3 參變分離方法

解法3f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，故a(x-1)≥-(x2+3)在[1,2]上恒成立.

(1)當x=1時，0≥-4恒成立，a∈R．

(2)當x∈(1,2]時，不等式可化為

在x∈[1,2]上恒成立.又令

在x∈[1,2]上恒成立.故g(x)在[1,2]上遞增，g(x)max=g(2)=-7，從而a≥-7.

綜上所述，a≥-7.

(此解法給出后，學生丙又站了起來.)

學生丙：a(x-1)≥(x2+3)在[1,2]上恒成立，畫出不等式左、右2邊函數的圖像，從圖像上可分析求解．

1．4 數形結合思想

解法4a(x-1)≥-(x2+3)在[1,2]上恒成立，在同一坐標系中作出圖像

y1=a(x-1),y2=-(x2+3).

由題意知，函數y1=a(x-1)(1≤x≤2)的圖像恒在函數y2=-(x2+3)(1≤x≤2)的圖像上方.

(1)當a≥0時，觀察圖像即得.

(2)當a<0時，若y1=a(x-1)的圖像與函數y2=-(x2+3)的圖像相切，則

a(x-1)=-(x2+3)，Δ=0，

故

a=-6或a=2(舍去)，

當a=-6時，切點為(3,-12)，不在考慮的定義域內．

要使函數y1=a(x-1)(1≤x≤2)的圖像恒在函數y2=-(x2+3)(1≤x≤2)的圖像上方,只要當x=2時，y1=y2即可，故a≥-7.

綜上所述，a≥-7.

(此法給出后，教師環顧四周，學生面面相覷，只聽見一個學生在嘀咕.)

學生丁：若f(x)≥0的解集是A,則[1,2]?A．

1．5 集合觀點

解法5(1)當Δ≤0，即-6≤a≤2時，不等式恒成立．

(2)當Δ>0，即a<-6或a>2時,x2+ax+3-a≥0的解集是

要使f(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，只要

即

故

-7≤a<-6或a>2或a<-6.

綜上所述，a≥-7.

其實這2個問題的設計入口很寬，看似普通，但能觸動學生思維的火花，培養學生的數學思維品質，讓學生在解決同一問題時各抒己見，讓課堂引入變得十分有效．

1．6 變式演練

師：f(x)≥0在某個區間上恒成立，這又讓我們想到了什么？

生：如果函數在某個區間上遞增，它的導函數在這個區間上恒大于0．

師：非常好，利用這種關系，你能把條件改一下，變成另一個題嗎？

(學生分組討論，最后形成以下3題.)

變式2已知函數f(x)=6x4+8ax3+12(3-a)x2+a+9在(0,+∞)上不單調，求a的取值范圍．

變式3已知函數f(x)=[x3+(a+3)x2+(a+9)x+a+9]e-x,且f(x)≥f(2)對任意的x∈[1,2]都成立，求a的取值范圍．

師：非常好，我們通過知識之間的聯系，把原題變成了另一種形式．下面能否利用函數單調性的定義繼續變題呢？

成立，求a的取值范圍．

其實上述5個變式的設計，看似復雜，但是都可以通過適當變形、求導、移項等方式很快轉化為課堂中的源問題.同時，讓學生感受到“一題多解、一解多題”與“一題多變、一變多題”，這也使筆者最初的設計得到了有效嘗試.課堂教學的有效性通過層層設計，不僅點燃了學生思維的火花，而且越燒越旺，為學生在解題和變題方面構建了知識基礎，進一步培養了學生的數學思維品質．

2 教學反思

筆者認為“一題多解”與“一題多變”是數學課堂有效教學重要的教學方式,它可以讓學生在研究問題的過程中，領悟重要的數學思想和數學方法，靈活高效地解決數學問題．

“一題多解”可訓練思維的多向性．平時教學中要注意相關題型一般解法的指導，習慣稱之為通法.學好通法，就能用一種解法去解決一類問題，這樣既節約了時間，又最大限度地接觸了諸多題目，可以達到“熟能生巧、以不變應萬變”的效果．一題多解是開發智力、培養能力的一種行之有效的方法.進行思維分析，探討階梯規律和對習題的多角度追蹤，能以少勝多地鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力．掌握基本的解題方法和技巧，對溝通不同知識之間的聯系、開拓思路、培養發散思維能力、激發學生的學習興趣是十分有益的．例題教學中的解法1、解法2都屬于通法，一般的學生都能想到，但是分類討論容易疏忽，而解法3是在感覺分類討論易錯的前提下，想到參變分離法，此法可以避開分類討論，得分會更高些，在解法3中注意發現的話，又產生了解法4．在課堂教學和復習中充滿靈感、激情和理想的過程不能僅僅停留在習題本身文字信息所傳達的通性通法，而是應該重視對已有解法的提煉、延伸，提高學生解題的靈活性，注重激發興趣和求知欲，使課堂教學達到事半功倍的效果．

“一題多變”可訓練思維的變通性．利用“一題多變”構建新知識的最近發展區，尋找知識的生長點，引起學生的認知沖突，激發探究的熱情，不斷從一類問題引申到另一類問題，給學生的思維發展提供階梯，讓學生在探究中感悟知識、建構網絡，這才能較大幅度地提高學生的學習效率．在例題教學中，如果注意到函數的單調性與導函數正負性的關系，就會思考：能否設計一個函數使其導函數就是原問題中的f(x)，并且具有在[1,2]上遞增性質的函數.因此有了變式1，而變式2、變式3都是單調性的不同表述而已．由高中教材函數單調性的定義，就有變式4、變式5．通過適當變換變化為多個與原題內容不同，但解法相同或相近的題目.“一題多變”有利于擴大學生視野，深化知識，舉一反三，觸類旁通，從而提高學生的解題能力，激發學生的學習興趣，增強求知欲，提高課堂效率．

追求有效教學，教師必須重視研題的過程.只有教師的不斷研究、不斷反思，才能孕育教學智慧．筆者希望有一種反思文化，由此生成的教案才能真正體現教師的眼光、思想，由此進行的教學活動才能真正體現教師的創造，從而更好地走進學生的心靈，使課堂充滿生命活力．

[1] 羅增儒. 數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008.

[2] 羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[3] 波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.