由有理數Cauchy列定義的實數的無限十進小數展開

陳同舟， 許 斌

（中國科學技術大學，合肥 230026）

由有理數Cauchy列定義的實數的無限十進小數展開

陳同舟， 許 斌

（中國科學技術大學，合肥 230026）

討論了有理數Cauchy列定義的實數系的一種等價形式——無限十進小數展開，定義了其上的算術運算與順序并證明了它們和已有的定義一致.

無限十進小數；實數系；算術運算

1 兩個引理

以下約定兩引理中RR都是有理數Cauchy列定義的實數系.

引理1.1 對所有固定正數h，?x∈RR，x＞0，存在唯一的k∈ZZ，使（k-1）h≤x＜k h.

引理1.2 ?x∈RR，x＞0，存在唯一的k∈ZZ，使10k-1≤x＜10k.

證因為｛m∈ZZ｜x＜10m｝是非空有下界集合，故其最小元k即是滿足條件的唯一的k.

2 對由Cauchy列定義的實數x的無限十進小數展開

對由Cauchy列定義的正實數，由引理1.2，存在唯一的p∈ZZ，使10p≤x＜10p＋1.由引理1.1，存在唯一的ap∈ZZ，使得ap10p≤x＜ap10p＋10p，所以ap∈｛1，2，…，9｝.繼續向下做，存在唯一的ap-1∈ZZ，使得

其中p＜0時，小數點后共有-（p-1）個0.若?n∈NN，使任意的k＞n時，a-k＝0，則a-n后的那些0可以省略不寫.

對負數，在-x前加一個負號.0對應0.000…，則可證不同的實數對應不同的展開.

3 對展開方式的補充以及另外一種展開方式

定理3.1 正實數x按照上面的方法可以表示成無限十進小數，且不會出現從某項ap-k起后面的ap-n都是9的情形.

證用反證法.若n＞k，有

則rk＋10p-k-10p-n≤x＜rk＋10p-k.對任意的n＞k，有rk＋10p-k-x≤10p-n，這不可能.

定理3.2 如果實數x，y，z滿足y＜x＜z，且x1，x2，…是定義x的有理數Cauchy列，則存在m，使得對任意的k≥m，有y≤xk≤z.

對任一實數，可以定義它的另一種十進小數展開，下文所說的“新的展開方式”等等都是指這種展開方式.

因為任意x∈RR，存在n∈ZZ，使n≤x＜n＋1，故可記n為x的整數部分，x-n為x的小數部分，對x-n進行前面所定義的十進小數展開.

定理3.3 （i）若x非負或為負整數，則新的展開方式和原先的相同；

設x按原來方式展開形式如-n.x1x2…xk，按新方法展開形式如-m＋0.y1y2…yk，則斷言m＝n＋1，且0.x1x2…xk＋0.y1y2…yk＝1.

證（i）顯然.

（ii）因為由定義n＜-x＜n＋1，而-m＜x＜-m＋1，故m＝n＋1.顯然此時

故0.x1x2…xk＋0.y1y2…yk＝1.

（iii）同上得m＝n＋1.下用歸納法證明對任意的i∈NN，有xi＋yi＝9.

1.i＝1時，存在x1，使得

2.若i＜k時成立，則i＝k時，存在惟一xk，使得

存在惟一yk，使得

故xk＋yk＝9.

這兩種展開方法可以互相轉換.

4 序關系

對任意的a＝（-）A0.a1a2…，b＝（-）B0.b1b2…∈，稱a≤b當且僅當下面情況之一發生：

1.a的前面有負號而b的前面沒有負號；

2.a，b的前面都沒有負號，且A0＜B0；

3.a，b的前面都沒有負號，且A0＝B0，存在k，使得i＜k時ai＝bi且ak＜bk；

4.a，b的前面都沒有負號，且A0＝B0，任意的i，有ai＝bi；

5.a，b的前面都有負號，將a，b的負號去除掉后得到，有-b≤-a.易知

5 加 法

將a，b按新的方法展開，a＝A0＋0.a1a2a3…，b＝B0＋0.b1b2b3….

令Ak＝A0＋0.a1a2a3…ak，Bk定義類似.定義

由閉區間套原理可知，a＋b唯一存在.以下給出a＋b的無限十進小數展開：

1.設對任意的k，存在m≥k，任意的n≥m，使得An＋Bn與An＋Bn＋2×10-n的前k位小數都相同，則可確定a＋b的前k位小數，故可確定a＋b.

實際上，只要任意的k，存在m，使得Am＋Bm，Am＋Bm＋2×10-m的前k位小數相同即可.這是因為對任意的n≥m，

故Am＋Bm，Am＋Bm＋2×10-m的前k位小數相同，則當n≥m時，An＋Bn與An＋Bn＋2×10-n的前k位小數相同.故這兩個陳述是等價的.

2.若1中的情況不成立，則存在k，使得對任意的m≥k，有Am＋Bm，Am＋Bm＋2×10-m的前k位小數至少有一個不相同.記

則對m＞k＋1，有兩種情況：

1.C0＝D0且存在l，使得c1＝d1，…，cl-1＝dl-1，cl≠dl，顯然l≤k.

2.C0≠D0.

對情況1，顯然cl＜dl.若cl＋1≠dl，則cl＋2≤dl，故

因為l≤k＜m-1，故上式不可能成立，故只能cl＋1＝dl.

若cl＋1≠9，則cl＋1≤8，從而0.0…0cl＋1…cm＜9×10-l-1（小數點后有l個0）.于是

矛盾，故cl＋1＝9.依次這樣做下去，可得cl＋1，…，cm-1都為9，故ck＋1，…，cm-1都為9.

若cm≤7，則0.0…0 9…9cm＜10-l-2×10-m（小數點后有l個0，m-l-1個9），

矛盾，故cm為8或9.

若cm＝8.顯然這時Am＋1＋Bm＋1，Am＋1＋Bm＋1＋2×10-m-1的整數部分應相同.令Am＋1＋Bm＋1＝E0＋0.e1e2e3…em＋1，則

而em＝9，cm＝8，em＋1為8或9，所以am＋1＋bm＋1為1 8或1 9，只能am＋1＝bm＋1＝9，em＋1＝8.依次這樣做下去，可知對任意的n，有am＋n＝bm＋n＝9，而這是被禁止的，故cm＝9.故存在m，k，使得n≥m時，An＋Bn的第k位小數往后都是9.

對情況2，討論是類似的，同理可得存在m，k，使得n≥m時，An＋Bn的第k位小數往后都是9.則可令a＋b＝An＋Bn＋10-n.再將a＋b變為原來的表示形式即可.

由加法的定義，顯然加法滿足交換律.

定理5.1 加法滿足結合律.

證將a，b，c按新的方法展開，

Ak，Bk，Ck定義同定義加法時的定義，Ak＋Bk≤a＋b＜Ak＋Bk＋2×10-k，故

由閉區間套原理可知（a＋b）＋c，a＋（b＋c）都唯一存在，且（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.

6 乘法，零元，負元，幺元，逆元

這樣的實數系統有零元，有負元是顯然的.

定義乘法前先需要定義實數的科學計數法表示，即對非零數a＝（-）apap-1…a0.a-1a-2…，則將a表示成（-）ap.ap-1…a0a-1a-2…×10-p.

下面定義乘法，只需考慮兩正數相乘的情形，因為任何數和零相乘的積都定義為零.若a負b非負，令ab＝-（-a）b；若a非負b負，令ab＝-a（-b）；若a負b負，令ab＝（-a）（-b）.這三種情況均可化為a，b都非負的情形.

先考慮a＝a0.a-1a-2…，b＝b0.b-1b-2…的情況（其中a0，b0∈｛0，1，…，9｝），Ak＝A0.a1a2a3…ak，Bk定義類似.

由閉區間套原理可知，ab唯一存在，則用類似加法的方法可確定出ab.

對一般情況

實際上就是先將a，b化為科學計數法的形式再作乘法.

由乘法的定義，顯然乘法滿足交換律.證明乘法滿足結合律的方法是和加法類似的（由定義乘法時的討論，只需考慮［1，10）上數，其它情況均可轉化為這種情況，這里略去）.

定理6.1 乘法對加法滿足分配律.

證即證a（b＋c）＝ab＋ac.與定義乘法時的討論類似，這里只需考慮a是［1，10）上的數的情況.b，c仍用新的展開方法展開.Ak定義同定義乘法時的定義，Bk，Ck定義同定義加法時的定義.顯然b＜0時，存在正整數N，使得0＜b＋N＜10，且存在m≥2，使得N＜10m.

先證明此時a（b＋N）＝ab＋a N.

令B′k＝Bk＋N，則

b≥0時用類似的方法也可以證明a（b＋N）＝ab＋a N.現在證明b＞0，c＞0時，

因為若b＞0，c＞0時有a（b＋c）＝ab＋ac，則當b，c不都大于零時，存在M，N∈NN，使得0＜b＋N＜10，0＜c＋M＜10，有

當b，c不都大于零時也有a（b＋c）＝ab＋ac.

設Bk，Ck＜10m，m≥1，則

定理6.2 上述定義的實數系統具有幺元.

證只需證明1是幺元即可.對任意的a∈RR，若a＝0，顯然1×a＝1×0＝0＝a.否則與定義乘法時類似，只需考慮［1，10）上的數a＝a0.a1a2…，Ak定義同乘法時.

而Ak≤a＜Ak＋10-k，由閉區間套原理可知只能a×1＝a.

定理6.3 上述定義的實數系統具有逆元.

證與定義乘法時類似，仍只需考慮［1，10）上的數a.若a＝1，則顯然a-1＝1.下設a∈（1，10）.由引理1，存在唯一的n∈ZZ，使得n a≤1＜（n＋1）a.而0×a≤1＜1×a，故n＝0.由引理1，存在唯一的a1∈ZZ，使得a1×10-1×a≤1＜（a1＋1）×10-1×a，且a1∈｛0，1，…，9｝.繼續向下做，存在唯一的a2∈ZZ，使得

若存在k，當n＞k時an＝9，且k≠0時ak≠9.故存在n＞k，

則對任意的n＞k，有（0.a1a2…ak＋10-k）×a-1≤10-n×a，這不可能，故不會出現假設的那種情況.

令a-1＝0.a1a2…，則

由閉區間套原理，只能a a-1＝1.

而定義加法、乘法時定義的Ak，Bk都是Cauchy列，故這樣定義的實數和用Cauchy列定義的實數是一樣的.

［1］ 卓里奇B A．數學分析［M］．北京：高等教育出版社，2006：51-53．

［2］ Robert S Strichartz．The way of analysis（Jones and Bartlett Books in Mathematics）［M］．Sudbury：Jones ＆ Bartlett Publishers，2000：56-59．

The Infinite Decimal Expansion of the Real Numbers Definedby the Cauchy Sequences of Rational Numbers

CHEN Tong-zhou， XU Bin
（University of Science and Technology of China，Hefei 230026，China）

We discuss an equivalent of the real numbers defined by the Cauchy sequences of rational numbers，theinfinite decimal expansion．We also define the arithmetic operations as well as the order on it and prove that the definitionsare consistent with the original ones．

infinite decimals；real numbers；arithmetical operations

O171

C

1672-1454（2011）04-0186-06

2010-04-28